Encontre os vértices, os focos e as assíntitas da hipérbole. Faça um esboço da hipérbole.
x^2 = 9y^2 + 9.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo e quais conceitos a gente precisa saber para resolver. A gente tem a equação da hipérbole e precisa encontrar os vértices, os focos e as assíntotas dessa hipérbole. Além disso, tem que fazer um esboço dela. Para isso, vamos precisar entender a forma padrão da equação da hipérbole e saber como identificar suas características principais.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação dada para que ela fique na forma padrão da hipérbole. A forma padrão para uma hipérbole com eixo horizontal é:
E para uma hipérbole com eixo vertical:
Onde é o centro da hipérbole, é a distância do centro aos vértices, e está relacionado à inclinação das assíntotas.
Vamos colocar a equação nessa forma padrão. Primeiro, subtraímos 9 de ambos os lados:
Agora, dividimos todos os termos por 9 para deixar a equação igual a 1:
Pronto! Agora a equação está na forma padrão de uma hipérbole com eixo horizontal.

Passo 3

Identificando os componentes da equação padrão:
Comparando com a nossa equação:
Temos que:

Passo 4

Vértices: São os pontos mais próximos ao centro da hipérbole ao longo do eixo principal (horizontal neste caso). Como o centro é , os vértices ficam em:
Então, os vértices são e .

Passo 5

Focos: São pontos onde a hipérbole tem maior “abertura”. A distância dos focos ao centro é dada por:
Então, os focos estão em:

Passo 6

Assíntotas: São retas que a hipérbole se aproxima quando e vão para infinito. A equação das assíntotas para uma hipérbole com eixo horizontal é:
Substituindo os valores de e :
Então, as assíntotas são as retas e .

Resposta

  • Vértices: e
  • Focos: e
  • Assíntotas: e
Além disso, o esboço da hipérbole terá duas ramos abertos para a direita e para a esquerda, passando pelos vértices e aproximando-se das assíntotas conforme e aumentam.

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