Encontre os vértices, os focos e as assíntitas da hipérbole. Faça um esboço da hipérbole.
.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo e quais conceitos a gente precisa saber para resolver. A gente tem a equação da hipérbole
e precisa encontrar os vértices, os focos e as assíntotas dessa hipérbole. Além disso, tem que fazer um esboço dela. Para isso, vamos precisar entender a forma padrão da equação da hipérbole e saber como identificar suas características principais.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação dada para que ela fique na forma padrão da hipérbole. A forma padrão para uma hipérbole com eixo horizontal é:
E para uma hipérbole com eixo vertical:
Onde
é o centro da hipérbole,
é a distância do centro aos vértices, e
está relacionado à inclinação das assíntotas.
Vamos colocar a equação
nessa forma padrão. Primeiro, subtraímos 9
de ambos os lados:
Agora, dividimos todos os termos por 9 para deixar a equação igual a 1:
Pronto! Agora a equação está na forma padrão de uma hipérbole com eixo horizontal.
Passo 3
Identificando os componentes da equação padrão:
Comparando com a nossa equação:
Temos que:
Passo 4
Vértices: São os pontos mais próximos ao centro da hipérbole ao longo do eixo principal (horizontal neste caso). Como o centro é
, os vértices ficam em:
Então, os vértices são
e
.
Passo 5
Focos: São pontos onde a hipérbole tem maior “abertura”. A distância dos focos ao centro é dada por:
Então, os focos estão em:
Passo 6
Assíntotas: São retas que a hipérbole se aproxima quando
e
vão para infinito. A equação das assíntotas para uma hipérbole com eixo horizontal é:
Substituindo os valores de
e
:
Então, as assíntotas são as retas
e
.
Resposta
- Vértices:
e - Focos:
e - Assíntotas:
e
Além disso, o esboço da hipérbole terá duas ramos abertos para a direita e para a esquerda, passando pelos vértices e aproximando-se das assíntotas conforme
e
aumentam.