É verdadeiro ou falso?
Se
e
são
-periódicas e contínuas por partes em
, então a série de Fourier de
em
converge a
.
Se
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A pergunta é: "É verdadeiro ou falso? Se
e
são
-periódicas e contínuas por partes em
, então a série de Fourier de
em
converge a
."
Aqui, estamos lidando com séries de Fourier, que são usadas para representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar entender:
- Periodicidade: Como
e sua derivada se repetem a cada . - Continuidade por partes: A função não tem que ser perfeitamente lisa, mas não pode ter “saltos” grandes.
- Convergência da série de Fourier: Se a série realmente se aproxima da função original ou de uma média dela nos pontos de descontinuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a série de Fourier de uma função
. Basicamente, ela decompõe
em uma soma infinita de termos de seno e cosseno:
Onde os coeficientes
e
são calculados com base na função
.
Passo 3
Agora, sobre a convergência da série de Fourier. Em geral, para que a série de Fourier de uma função
convirja para
em um ponto
, a função precisa ser contínua nesse ponto.
No entanto, se a função tem uma descontinuidade em
, a série de Fourier converge para a média dos limites laterais nesse ponto, ou seja:
Isso significa que mesmo que haja um “salto” na função, a série de Fourier ainda dá uma boa aproximação.
Passo 4
A questão nos diz que tanto
quanto sua derivada
são
-periódicas e contínuas por partes em
. Isso assegura que
é suavemente periódica, ou seja, não tem descontinuidades “ruidosas” e sua derivada também se comporta bem.
De acordo com o teorema de convergência de Fourier, se
é periódica e suficientemente suave (o que é garantido aqui por
e
serem contínuas por partes), então a série de Fourier de
converge para
em todos os pontos
onde
é contínua e para a média dos limites laterais nos pontos de descontinuidade.
Resposta
Verdadeiro.