É verdadeiro ou falso?
Se f e f' são 2 L-periódicas e contínuas por partes em [-L, L], então a série de Fourier de f em x em R converge a (f(x+) + f(x-)) / 2.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A pergunta é: "É verdadeiro ou falso? Se e são -periódicas e contínuas por partes em , então a série de Fourier de em converge a ."
Aqui, estamos lidando com séries de Fourier, que são usadas para representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar entender:
  • Periodicidade: Como e sua derivada se repetem a cada .
  • Continuidade por partes: A função não tem que ser perfeitamente lisa, mas não pode ter “saltos” grandes.
  • Convergência da série de Fourier: Se a série realmente se aproxima da função original ou de uma média dela nos pontos de descontinuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a série de Fourier de uma função . Basicamente, ela decompõe em uma soma infinita de termos de seno e cosseno:
Onde os coeficientes e são calculados com base na função .

Passo 3

Agora, sobre a convergência da série de Fourier. Em geral, para que a série de Fourier de uma função convirja para em um ponto , a função precisa ser contínua nesse ponto.
No entanto, se a função tem uma descontinuidade em , a série de Fourier converge para a média dos limites laterais nesse ponto, ou seja:
Isso significa que mesmo que haja um “salto” na função, a série de Fourier ainda dá uma boa aproximação.

Passo 4

A questão nos diz que tanto quanto sua derivada são -periódicas e contínuas por partes em . Isso assegura que é suavemente periódica, ou seja, não tem descontinuidades “ruidosas” e sua derivada também se comporta bem.
De acordo com o teorema de convergência de Fourier, se é periódica e suficientemente suave (o que é garantido aqui por e serem contínuas por partes), então a série de Fourier de converge para em todos os pontos onde é contínua e para a média dos limites laterais nos pontos de descontinuidade.

Resposta

Verdadeiro.

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