Explique por que o conjunto de vetores dado é linearmente dependente. (Resolva o problema inspecionando o conjunto)
u1=(3,-1) e u2=(4,5), e u3=(-4,7) em R^2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os vetores u1=(3,-1), u2=(4,5) e u3=(-4,7) em R^2 são linearmente dependentes. O conteúdo é dependência linear em espaços vetoriais, e vamos precisar verificar se existe combinação linear não trivial destes vetores que resulte no vetor zero.

Passo 2

Em um espaço vetorial de dimensão 2, todo conjunto com mais de 2 vetores é necessariamente linearmente dependente. Como temos 3 vetores em R^2, concluímos de imediato que u1,u2,u3 é linearmente dependente.

Passo 3

Para ver isso de forma concreta, buscamos escalares a1,a2,a3, não todos zero, tais que
a1,(3,-1) + a2,(4,5) + a3,(-4,7) = (0,0)
Isto gera o sistema
3a1 + 4a2 - 4a3 = 0, -,a1 + 5a2 + 7a3 = 0
Resolvendo, por exemplo, obtemos a solução
a1 = 48, a2 = -17, a3 = 19,
pois
48,u1 ;-;17,u2 ;+;19,u3 ;=;(0,0)

Passo 4

Como existe essa combinação linear não trivial que resulta no vetor zero, concluímos que o conjunto é linearmente dependente.

Resposta

O conjunto é linearmente dependente, pois
48,u1 ;-;17,u2 ;+;19,u3 ;=;(0,0)

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