Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de terceira ordem com coeficientes constantes
sujeita às condições iniciais
O conteúdo envolvido é solução de EDO linear não homogênea de coeficientes constantes. Para resolver, vamos:
- Encontrar a solução geral da equação homogênea associada.
- Achar uma solução particular da equação não homogênea.
- Ajustar as constantes usando as condições iniciais.
Passo 2
Equação homogênea associada:
Montamos o polinômio característico
Buscando raízes inteiras, testamos
e vemos que cada um anula o polinômio. Logo as raízes são
. Portanto a solução geral homogênea é
Passo 3
Procuramos uma solução particular
constante (já que o lado direito é 1). Seja
. Então
e substituindo na EDO,
Assim
Passo 4
A solução geral da EDO não homogênea é
Passo 5
Calculamos as derivadas para aplicar condições iniciais:
Em
temos o sistema
Ou seja
Passo 6
Resolvendo o sistema: subtraindo a primeira equação da segunda e da terceira, obtemos
Substituindo
em
dá
Logo
e por fim
Resposta
Substituindo as constantes, a solução do problema de valor inicial é