y^{(3)} t-6 y^{\prime \prime}(t)+11 y^{\prime}(t)-6 y(t)=1 y(0)=1, y^{\prime}(0)=0, y^{\prime \prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de terceira ordem com coeficientes constantes
y'''(t)-6\,y''(t)+11\,y'(t)-6\,y(t)=1
sujeita às condições iniciais
y(0)=1,\quad y'(0)=0,\quad y''(0)=0.
O conteúdo envolvido é solução de EDO linear não homogênea de coeficientes constantes. Para resolver, vamos:
  1. Encontrar a solução geral da equação homogênea associada.
  2. Achar uma solução particular da equação não homogênea.
  3. Ajustar as constantes usando as condições iniciais.

Passo 2

Equação homogênea associada:
y'''-6y''+11y'-6y=0.
Montamos o polinômio característico
r^3-6r^2+11r-6=0.
Buscando raízes inteiras, testamos r=1,2,3 e vemos que cada um anula o polinômio. Logo as raízes são r=1,2,3. Portanto a solução geral homogênea é
y_h(t)=C_1e^{t}+C_2e^{2t}+C_3e^{3t}.

Passo 3

Procuramos uma solução particular y_p constante (já que o lado direito é 1). Seja y_p=A. Então
y_p'=0,\quad y_p''=0,\quad y_p'''=0,
e substituindo na EDO,
0-6\cdot0+11\cdot0-6A=1 \quad\Longrightarrow\quad -6A=1 \quad\Longrightarrow\quad A=-\tfrac16.
Assim
y_p(t)=-\tfrac16.

Passo 4

A solução geral da EDO não homogênea é
y(t)=y_h(t)+y_p(t) =C_1e^{t}+C_2e^{2t}+C_3e^{3t}-\tfrac16.

Passo 5

Calculamos as derivadas para aplicar condições iniciais:
y'(t)=C_1e^{t}+2C_2e^{2t}+3C_3e^{3t}, \quad y''(t)=C_1e^{t}+4C_2e^{2t}+9C_3e^{3t}.
Em t=0 temos o sistema
\begin{cases} y(0)=C_1+C_2+C_3-\tfrac16=1,\\\ y'(0)=C_1+2C_2+3C_3=0,\\\ y''(0)=C_1+4C_2+9C_3=0. \end{cases}
Ou seja
\begin{cases} C_1+C_2+C_3=\tfrac76,\\\ C_1+2C_2+3C_3=0,\\\ C_1+4C_2+9C_3=0. \end{cases}

Passo 6

Resolvendo o sistema: subtraindo a primeira equação da segunda e da terceira, obtemos
\begin{cases} (C_1+2C_2+3C_3)-(C_1+C_2+C_3)=0-\tfrac76\;\Longrightarrow\;C_2+2C_3=-\tfrac76,\\\ (C_1+4C_2+9C_3)-(C_1+2C_2+3C_3)=0-0\;\Longrightarrow\;2C_2+6C_3=0\;\Longrightarrow\;C_2=-3C_3. \end{cases}
Substituindo C_2=-3C_3 em C_2+2C_3=-\tfrac76
-3C_3+2C_3=-\tfrac76 \quad\Longrightarrow\quad -C_3=-\tfrac76 \quad\Longrightarrow\quad C_3=\tfrac76.
Logo
C_2=-3\cdot\tfrac76=-\tfrac{21}6=-\tfrac72,
e por fim
C_1=\tfrac76 -C_2-C_3 =\tfrac76 -\bigl(-\tfrac72\bigr)-\tfrac76 =\tfrac72.

Resposta

Substituindo as constantes, a solução do problema de valor inicial é
\boxed{y(t)=\tfrac72e^{t}-\tfrac72e^{2t}+\tfrac76e^{3t}-\tfrac16.}

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