Questão 1 (10 pontos). Considere as matrizes A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\\\ 2 & 0 & 3 \\\\ -1 & 1 & 0\end{array}\right) e B=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 1 & -1 \\\\ 5 & 1 & 2 \\\\ 0 & 2 & -1\end{array}\right). Determine se A e B são invertíveis. Em cada caso, se a matriz for invertível calcule a inversa, se não for calcule a sua forma escalonada reduzida.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\\\ 2 & 0 & 3\\\\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B=\begin{pmatrix} -1 & 1 & -1\\\\ 5 & 1 & 2\\\\ 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}
e pede para verificar se cada uma é invertível. Se for, calcular a inversa; se não for, obter a forma escalonada reduzida (RREF). O critério de invertibilidade que vamos usar é o determinante: \det A\neq0 implica A^{-1} existe, e se \det B=0 então B não é invertível e obtemos RREF( B) por operações de linha.

Passo 2

Calcular \det A e \det B por expansão:
\det A =1\cdot\det\begin{pmatrix}0&3\\\ 1&0\end{pmatrix} -0\cdot\det(\cdots) +2\cdot\det\begin{pmatrix}2&0\\\ -1&1\end{pmatrix} =-3+2\cdot2=1\neq0,
\det B =-1\cdot\det\begin{pmatrix}1&2\\\ 2&-1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}5&2\\\ 0&-1\end{pmatrix} +(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}5&1\\\ 0&2\end{pmatrix} =5+5-10=0.

Passo 3

Como \det A=1, A é invertível. Calculamos A^{-1} pela matriz de cofatores:
para cada i,j achamos o menor M_{ij}, o cofator C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} e depois transpondo a matriz de cofatores. O resultado é
A^{-1} =\begin{pmatrix} -3 & 2 & 0\\\\ -3 & 2 & 1\\\\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

Como \det B=0, B não é invertível. Para RREF( B) fazemos operações de linha:
  1. L_1\gets -L_1 \bigl[1,-1,1\bigr].
  2. L_2\gets L_2-5L_1 e mantemos L_3.
  3. Escalonamos L_2 dividindo por 6, depois eliminamos nas outras linhas.
    O resultado em forma escalonada reduzida é
\mathrm{RREF}(B) =\begin{pmatrix} 1 & 0 & \tfrac12\\\\ 0 & 1 & -\tfrac12\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Resposta

A é invertível e
A^{-1} =\begin{pmatrix} -3 & 2 & 0\\\\ -3 & 2 & 1\\\\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}.
B não é invertível e
\mathrm{RREF}(B) =\begin{pmatrix} 1 & 0 & \tfrac12\\\\ 0 & 1 & -\tfrac12\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

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