Questão 2 (10 pontos). Considere os vetores V=\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right) e W=\left(\begin{array}{c}1 \\\\ -2 \\\\ 2\end{array}\right).
(a) Encontre uma equação geral do plano \pi que contém é paralelo a V e W e contém o ponto A=(1,0,-2).
(b) Determine se \pi contém o ponto B=(1,2,3).
(c) Encontre equações paramétricas para a reta R que passa por A e B.
(d) Determine se R contém o ponto C=(1,1,1).

Passo 1

O enunciado pede (a) a equação geral de um plano \pi que passa por A=(1,0,-2) e é paralelo aos vetores diretores
V=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix},\quad W=\begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ 2\end{pmatrix},
(b) verificar se \pi contém B=(1,2,3), (c) achar equações paramétricas da reta R que passa por A e B, e (d) checar se R contém C=(1,1,1).
Conteúdo usado: produto vetorial para achar normal do plano, formato n\cdot(X-A)=0, substituição de pontos e fórmula de reta X=A+t(B-A).

Passo 2

Para achar a normal n do plano usamos o produto vetorial
n = V\times W =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 1&1&1\\\\ 1&-2&2 \end{vmatrix} =(4,-1,-3).
Isso funciona porque n é perpendicular a V e a W.

Passo 3

A equação geral do plano \pi é dada por
n\cdot\bigl((x,y,z)-A\bigr)=0.
Substituindo n=(4,-1,-3) e A=(1,0,-2) obtemos
4(x-1)-1\,(y-0)-3(z+2)=0
que se expande para
4x - y - 3z - 10 = 0.

Passo 4

Para decidir se B=(1,2,3) está em \pi, substituímos na equação do plano:
4\cdot1 - 2 - 3\cdot3 -10 = 4 - 2 -9 -10 = -17 \neq 0.
Logo, B não pertence a \pi.

Passo 5

A reta R que passa por A e B tem direção
B - A = (1,2,3)-(1,0,-2) = (0,2,5).
Então as equações paramétricas são
\begin{cases} x = 1 + 0\cdot t = 1,\\\ y = 0 + 2\,t = 2t,\\\ z = -2 + 5\,t. \end{cases}

Passo 6

Para ver se C=(1,1,1)\) está em \(R\), igualamos \[\begin{cases} 1 = 1\quad(\text{ok para qualquer }t),\\\\ 1 = 2t\implies t=\tfrac12,\\\\ 1 \stackrel{?}{=} -2 + 5\bigl(\tfrac12\bigr) = -2 + 2{,}5 = 0{,}5\neq1. \end{cases}
Como a terceira não bate, C\] **não** pertence a \(R.

Resposta

(a) 4x - y - 3z - 10 = 0
(b) B não pertence a \pi.
(c)
\displaystyle x=1,\quad y=2t,\quad z=-2+5t.
(d) C não pertence a R.

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