Sejam os vetores \vec{u}=5 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k} e \vec{v}=-\hat{i}+5 \hat{j}-3 \hat{k}. Determine a projeção de \vec{u} sobre \vec{v}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=5\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}
e \vec{v}=-\hat{i}+5\hat{j}-3\hat{k},
e pede a projeção de \vec{u} sobre \vec{v}.
A fórmula de projeção é
\mathrm{proj}_{\vec{v}}\vec{u} = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\vec{v}\cdot\vec{v}}\,\vec{v}.

Passo 2

Calcular o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v}:
\vec{u}\cdot\vec{v} =5\cdot(-1)+3\cdot5+(-1)\cdot(-3) =-5+15+3 =13.

Passo 3

Calcular o produto escalar \vec{v}\cdot\vec{v}:
\vec{v}\cdot\vec{v} =(-1)^2+5^2+(-3)^2 =1+25+9 =35.

Passo 4

Obter o coeficiente escalar da projeção:
\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\vec{v}\cdot\vec{v}} = \frac{13}{35}.

Passo 5

Multiplicar esse escalar por \vec{v} e simplificar:
\mathrm{proj}_{\vec{v}}\vec{u} = \frac{13}{35}\bigl(-\hat{i}+5\hat{j}-3\hat{k}\bigr) = -\frac{13}{35}\hat{i}+\frac{65}{35}\hat{j}-\frac{39}{35}\hat{k} = -\frac{13}{35}\hat{i}+\frac{13}{7}\hat{j}-\frac{39}{35}\hat{k}.

Resposta

\mathrm{proj}_{\vec{v}}\vec{u} = -\frac{13}{35}\hat{i}+\frac{13}{7}\hat{j}-\frac{39}{35}\hat{k}.

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