Estabeleça as equações vetorial, paramétricas, simétricas e reduzidas da reta que passa pelo ponto \mathrm{A}(5,-5,6) e pelo ponto \mathrm{B}(4,-1,12)$

Passo 1

O enunciado pede as equações da reta que passa pelos pontos
\mathrm{A}(5,-5,6) e \mathrm{B}(4,-1,12).
O conteúdo envolvido é geometria analítica no espaço: precisamos
  1. determinar o vetor direção \overrightarrow{AB},
  2. usar esse vetor para escrever a equação vetorial,
  3. extrair as equações paramétricas,
  4. montar a forma simétrica e
  5. eliminar o parâmetro para obter a forma reduzida.

Passo 2

Calcular o vetor direção
\overrightarrow{AB} =(x_B-x_A,\;y_B-y_A,\;z_B-z_A) =(4-5,\;-1-(-5),\;12-6) =(-1,\;4,\;6).

Passo 3

Escolhendo como ponto de referência \mathrm{A} (vetor posição \vec r_0=(5,-5,6)), a equação vetorial da reta é
\vec r \;=\;\vec r_0 \;+\;t\,\overrightarrow{AB} \quad\Longrightarrow\quad \vec r = (5,-5,6) + t\;(-1,4,6).

Passo 4

Das componentes da equação vetorial seguem as equações paramétricas:
x=5 - t,
y=-5 + 4t
e
z=6 + 6t.

Passo 5

Igualando o parâmetro t em cada uma das três expressões, obtemos a forma simétrica:
\frac{x-5}{-1} \;=\; \frac{y+5}{4} \;=\; \frac{z-6}{6}.

Passo 6

Para eliminar de vez t, isolamos t=(5-x) na primeira fração e substituímos em y e z, resultando na forma reduzida (duas equações relacionando y e z diretamente com x):
y = -4x + 15, \quad z = -6x + 36.

Resposta

Equação vetorial
\vec r = (5,-5,6) + t\,(-1,4,6).
Equações paramétricas
x=5 - t,\quad y=-5 + 4t,\quad z=6 + 6t.
Forma simétrica
\frac{x-5}{-1} = \frac{y+5}{4} = \frac{z-6}{6}.
Forma reduzida
y = -4x + 15, \quad z = -6x + 36.

Exercícios relacionados