Encontre o vetor tangente unitário à curva, no ponto indicado.
\vec{r}(t)=(t \cos (2 t), t \operatorname{sen}(2 t)), t \in[0, \infty) ; t=\frac{\pi}{2}

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
\vec{r}(t) = \bigl(t\cos(2t),\,t\sin(2t)\bigr)
e pede o vetor tangente unitário no ponto correspondente a t=\frac{\pi}{2}.
Conteúdo usado: derivada de função vetorial, regra do produto e normalização de vetor para obter o versor tangente.

Passo 2

Vamos calcular a derivada \vec{r}'(t) usando a regra do produto em cada componente. Para a primeira coordenada:
\frac{d}{dt}\bigl(t\cos(2t)\bigr) = \cos(2t) + t\bigl(-\sin(2t)\cdot 2\bigr) = \cos(2t) - 2t\sin(2t).
Para a segunda coordenada:
\frac{d}{dt}\bigl(t\sin(2t)\bigr) = \sin(2t) + t\bigl(\cos(2t)\cdot 2\bigr) = \sin(2t) + 2t\cos(2t).
Portanto,
\vec{r}'(t) = \bigl(\cos(2t) - 2t\sin(2t),\;\sin(2t) + 2t\cos(2t)\bigr).

Passo 3

Agora avaliamos em t = \frac{\pi}{2}. Note que
\cos\bigl(2\cdot\tfrac{\pi}{2}\bigr) = \cos(\pi) = -1, \qquad \sin\bigl(2\cdot\tfrac{\pi}{2}\bigr) = \sin(\pi) = 0.
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\vec{r}'\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\Bigr) = \bigl(-1 - 2\cdot\tfrac{\pi}{2}\cdot 0,\;0 + 2\cdot\tfrac{\pi}{2}\cdot(-1)\bigr) = \bigl(-1,\;-\,\pi\bigr).

Passo 4

Para normalizar, calculamos o módulo de \vec{r}'\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr):
\bigl\|\vec{r}'(\tfrac{\pi}{2})\bigr\| = \sqrt{(-1)^{2} + (-\pi)^{2}} = \sqrt{1 + \pi^{2}}.

Passo 5

O vetor tangente unitário \mathbf{T}(t) é dado por \mathbf{T}(t)=\dfrac{\vec{r}'(t)}{\|\vec{r}'(t)\|}. Em t=\tfrac{\pi}{2}:
\mathbf{T}\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\Bigr) = \frac{1}{\sqrt{1+\pi^{2}}}\bigl(-1,\,-\pi\bigr) = \Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{1+\pi^{2}}},\,-\tfrac{\pi}{\sqrt{1+\pi^{2}}}\Bigr).

Resposta

\mathbf{T}\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\Bigr) = \Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{1+\pi^{2}}},\,-\tfrac{\pi}{\sqrt{1+\pi^{2}}}\Bigr).

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