Questão 3. A atividade enzimática da catalase é perdida durante a exposição à luz solar, na presença do oxigênio. Seja y a concentração de catalase ( \mu \mathrm{g} / 10 \mathrm{ml} ) como funçāo do tempo t(\mathrm{~min}), entāo
y=x_{0} a^{t} \text { para } 0 \leq t \leq 80 .
O objetivo desta exercício é estimar os parâmetros x_{0} e a, utilizando os dados da tabela a seguir:
t(\mathrm{~min}) y((\mu \mathrm{~g} / 10 \mathrm{ml}))
0 121
10 74
30 30
50 12
60 6.7
70 3.7
80 2

Passo 1

O enunciado pede estimar por mínimos quadrados os parâmetros x_{0} e a do modelo exponencial
y = x_{0}\,a^{t},
usando os dados de t e y. O procedimento clássico é linearizar tomando logaritmo natural, obter uma regressão linear entre \ln y e t, de modo que
\ln y = \ln x_{0} + t\,\ln a.

Passo 2

Transformamos cada par (t,y) em (t,\ln y):
t (min) 0 10 30 50 60 70 80
y ( \mug/10 mL) 121 74 30 12 6,7 3,7 2
\ln y 4,795 4,304 3,401 2,485 1,903 1,308 0,693
Em seguida calculamos
n=7,\quad \sum t=300,\quad \sum \ln y\approx 18,889,\quad \sum t\,\ln y\approx 530{,}5,\quad \sum t^{2}=18400.

Passo 3

Na regressão linear \ln y = b + m\,t, os coeficientes são dados por
m = \frac{n\sum t\,\ln y - (\sum t)(\sum \ln y)}{n\sum t^{2} - (\sum t)^{2}}, \quad b = \frac{\sum \ln y - m\,\sum t}{n}.
Substituindo os valores:
m = \frac{7\cdot 530{,}5 - 300\cdot 18{,}889}{7\cdot 18400 - 300^{2}} \approx \frac{3713{,}5 - 5666{,}7}{128800 - 90000} = \frac{-1953{,}2}{38800}\approx -0{,}05032,
b = \frac{18{,}889 - (-0{,}05032)\cdot 300}{7} = \frac{18{,}889 + 15{,}096}{7} \approx 4{,}855.

Passo 4

Reconhecendo b = \ln x_{0} e m = \ln a, temos
x_{0} = e^{b} \approx e^{4{,}855}\approx 128{,}5, \qquad a = e^{m} \approx e^{-0{,}05032}\approx 0{,}9509.

Resposta

\displaystyle x_{0}\approx 128{,}5,\quad a\approx 0{,}9509.

Exercícios relacionados