Sejam A(-3,1,4) e v=(6,2,-2) um ponto e um vetor no espaço. Encontre as coordenadas do ponto B para que os vetores A B e v tenham a mesma norma, mesma direção e mesmo sentido.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um ponto A(-3, 1, 4) e um vetor v = (6, 2, -2). A tarefa é encontrar as coordenadas de um ponto B de forma que o vetor AB tenha a mesma norma (comprimento), a mesma direção e o mesmo sentido do vetor v. Para isso, vamos utilizar conceitos de vetores no espaço tridimensional, incluindo adição de vetores e coordenadas de pontos.

Passo 2

Primeiro, sabemos que dois vetores têm a mesma direção e sentido se um for múltiplo escalar do outro. Além disso, quando dois vetores são iguais, eles necessariamente têm a mesma norma, direção e sentido. Assim, para que AB e v tenham todas essas propriedades, podemos afirmar que AB = v.

Passo 3

Agora, vamos expressar o vetor AB em termos das coordenadas dos pontos A e B. Sabemos que AB = B - A. Então, se denotarmos as coordenadas de B por (xB, yB, zB), temos:
AB = (xB - (-3), yB - 1, zB - 4) = (xB + 3, yB - 1, zB - 4)

Passo 4

Igualando AB ao vetor v, temos:
(xB + 3, yB - 1, zB - 4) = (6, 2, -2)
Isso nos dá um sistema de equações para encontrar as coordenadas de B:
xB + 3 = 6 yB - 1 = 2 zB - 4 = -2

Passo 5

Resolvendo cada equação:
Para xB:
xB + 3 = 6 xB = 6 - 3 xB = 3
Para yB:
yB - 1 = 2 yB = 2 + 1 yB = 3
Para zB:
zB - 4 = -2 zB = -2 + 4 zB = 2

Resposta

As coordenadas do ponto B são (3, , 3, , 2).

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