Sejam u=(4 a+2 b, 2,-2), v=(1, b-c, 0) e w=(a3, 13, a+b+c3) vetores do espaço. Encontre os valores de a, b e c que satisfazem a equação 12 u-2 v= 3 w.
(*) OBSERVAÇÃO: Um vetor u=(x, y, z) também pode ser denotado por v= x imath+y jmath+z k, onde imath=(1,0,0), jmath=(0,1,0) e k=(0,0,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta três vetores no espaço:
  • u = (4a + 2b, 2, -2)
  • v = (1, b - c, 0)
  • w = (a3, 13, a + b + c3)
E nos pede para encontrar os valores de a, b e c que satisfazem a equação vetorial:
12 u - 2 v = 3 w
Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de operações com vetores e igualdades de componentes. Precisamos igualar cada componente dos vetores nas duas partes da equação para encontrar a, b e c.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular cada termo da equação separadamente.
Calculando 12 u:
12 u = ( 12(4a + 2b), 12(2), 12(-2) ) = (2a + b, 1, -1)
Agora, calculando -2 v:
-2 v = ( -2(1), -2(b - c), -2(0) ) = (-2, -2b + 2c, 0)

Passo 3

Agora, somamos os resultados de 12 u e -2 v:
12 u - 2 v = (2a + b - 2, 1 - 2b + 2c, -1 + 0) = (2a + b - 2, 1 - 2b + 2c, -1)
E a parte direita da equação é:
3 w = 3 ( a3, 13, a + b + c3 ) = (a, 1, a + b + c)

Passo 4

Agora, igualamos as componentes correspondentes dos vetores resultantes das duas mãos da equação:
Para a componente x:
2a + b - 2 = a
Para a componente y:
1 - 2b + 2c = 1
Para a componente z:
-1 = a + b + c

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações obtido:
  1. 2a + b - 2 = a
    Subtraindo a de ambos os lados:
a + b - 2 = 0 Rightarrow a + b = 2 (Equação 1) çã
  1. 1 - 2b + 2c = 1
    Simplificando:
-2b + 2c = 0 Rightarrow -b + c = 0 Rightarrow c = b (Equação 2) çã
  1. -1 = a + b + c
    Substituindo c da Equação 2:
-1 = a + b + b Rightarrow -1 = a + 2b (Equação 3) çã

Passo 6

Agora, temos o seguinte sistema de duas equações com duas incógnitas:
  1. a + b = 2
  2. a + 2b = -1
Vamos resolver subtraindo a Equação 1 da Equação 3:
(a + 2b) - (a + b) = -1 - 2 Rightarrow b = -3
Com b = -3, substituímos na Equação 1:
a + (-3) = 2 Rightarrow a = 5
E de acordo com a Equação 2:
c = b = -3

Resposta

Os valores que satisfazem a equação são:
a = 5, b = -3, c = -3

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