Verifique se os seguintes vetores são unitários ou não.
a) \left[\begin{array}{l}\frac{\sqrt{3}}{3} \\\ \frac{\sqrt{3}}{3}\end{array}\right]
b) \left[\begin{array}{c}3 / 5 \\\\ -4 / 5\end{array}\right]
c) -\frac{\sqrt{3}}{3} \mathbf{i}+\sqrt{\frac{2}{3}} \mathbf{j}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que ele pede.
  • Vetor (a): \displaystyle \begin{pmatrix}\dfrac{\sqrt{3}}{3} \\[4pt] \dfrac{\sqrt{3}}{3}\end{pmatrix}.
  • Vetor (b): \displaystyle \begin{pmatrix}\dfrac{3}{5} \\[4pt] -\dfrac{4}{5}\end{pmatrix}.
  • Vetor (c): -\dfrac{\sqrt{3}}{3}\,\mathbf{i}+\sqrt{\dfrac{2}{3}}\,\mathbf{j}.
O enunciado pede para verificar se cada um desses vetores é unitário ou não (isto é, se o comprimento/módulo do vetor é igual a 1).]

Passo 2

Definição e fórmula que vamos usar (aula rapidinha e prática).
  • Um vetor em \mathbb{R}^2 com componentes \(v_1,v_2) é unitário se o seu comprimento (norma) satisfaz \|v\|=1.
  • A norma (comprimento) de v=(v_1,v_2) é dada por
\|v\|=\sqrt{v_1^{2}+v_2^{2}}.
Explicando: calcula-se o quadrado de cada componente, soma-se e tira-se a raiz quadrada. Se o resultado for \(1), o vetor é unitário.

Passo 3

Verificação do vetor (a).
Escrevendo os componentes:
v^{(a)}=\begin{pmatrix}\dfrac{\sqrt{3}}{3} \\[4pt] \dfrac{\sqrt{3}}{3}\end{pmatrix}.
Calcular os quadrados das componentes:
\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)^{2}=\dfrac{(\sqrt{3})^{2}}{3^{2}}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}.
Somando os quadrados:
\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}.
Agora a norma:
\|v^{(a)}\|=\sqrt{\dfrac{2}{3}}.
Interpretando: \sqrt{\dfrac{2}{3}} não é igual a 1 (aproximadamente é 0{,}8165), portanto o vetor (a) não é unitário.]

Passo 4

Verificação do vetor (b).
Escrevendo os componentes:
v^{(b)}=\begin{pmatrix}\dfrac{3}{5} \\[4pt] -\dfrac{4}{5}\end{pmatrix}.
Calcular os quadrados das componentes:
\left(\dfrac{3}{5}\right)^{2}=\dfrac{9}{25},\qquad \left(-\dfrac{4}{5}\right)^{2}=\dfrac{16}{25}.
Somando os quadrados:
\dfrac{9}{25}+\dfrac{16}{25}=\dfrac{25}{25}=1.
Agora a norma:
\|v^{(b)}\|=\sqrt{1}=1.
Conclusão: o vetor (b) tem norma 1, logo é unitário.]

Passo 5

Verificação do vetor (c).
Primeiro, reconhecer os componentes na base \{\mathbf{i},\mathbf{j}\}:
v^{\text{(c)}}=\begin{pmatrix}-\dfrac{\sqrt{3}}{3} \\[4pt] \sqrt{\dfrac{2}{3}}\end{pmatrix}.
Calcular os quadrados das componentes:
\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)^{2}=\dfrac{1}{3}, \qquad \left(\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right)^{2}=\dfrac{2}{3}.
Somando os quadrados:
\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}=1.
Agora a norma:
\|v^{\text{(c)}}\|=\sqrt{1}=1.
Conclusão: o vetor (c) tem norma 1, logo é unitário.]

Resposta

a) Não é unitário.
b) É unitário.
c) É unitário.

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