Exercício 7 Num espaço vetorial
com
, sejam
subespaços vetoriais em que
. Mostre que
.
Passo 1
Primeiro, o enunciado diz que em um espaço vetorial V de dimensão n temos dois subespaços U e W com dimensões k e m, respectivamente. Queremos mostrar que
. Para isso, vamos usar o teorema da dimensão da soma de subespaços e o fato de que a soma U+W é subespaço de V.
Passo 2
Pela teoria de espaços vetoriais, vale a fórmula
Passo 3
Como
é subespaço de V, sua dimensão não pode ultrapassar a de V, ou seja
Substituindo a expressão anterior:
e, reorganizando os termos, obtemos