Exercício 7 Num espaço vetorial V com dim V=n, sejam U, W subset V subespaços vetoriais em que dim U=k e dim W=m. Mostre que dim(U cap W) >= k+m-n.

Passo 1

Primeiro, o enunciado diz que em um espaço vetorial V de dimensão n temos dois subespaços U e W com dimensões k e m, respectivamente. Queremos mostrar que dim(U cap W) >= k + m - n. Para isso, vamos usar o teorema da dimensão da soma de subespaços e o fato de que a soma U+W é subespaço de V.

Passo 2

Pela teoria de espaços vetoriais, vale a fórmula
dim(U + W) = dim(U) + dim(W) - dim(U cap W)

Passo 3

Como U + W é subespaço de V, sua dimensão não pode ultrapassar a de V, ou seja
dim(U + W) <= dim(V) = n
Substituindo a expressão anterior:
k + m - dim(U cap W) <= n
e, reorganizando os termos, obtemos
dim(U cap W) >= k + m - n

Resposta

dim(U cap W) >= k + m - n

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