Encontre vetores geradores dos seguintes planos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar vetores que geram o plano definido pela equação
. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente trabalhando com planos no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar o plano e encontrar vetores que se mantêm dentro dele.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação do plano para facilitar a parametrização. A equação é:
Podemos isolar
para expressar em termos de
e
:
Passo 3
Agora, vamos atribuir valores livres a duas das variáveis para expressar todos os pontos do plano. Geralmente, escolhemos
e
como variáveis livres. Vamos chamar
e
, onde
e
são parâmetros reais. Assim, temos:
Portanto, qualquer ponto
no plano pode ser escrito como:
Passo 4
Vamos agora expressar isso em termos de vetores. Podemos decompor a expressão acima da seguinte maneira:
Isso significa que qualquer vetor no plano é uma combinação linear dos vetores
e
. Assim, esses dois vetores são vetores geradores do plano.
Resposta
Os vetores geradores do plano
são
e
.