y^prime prime+y^prime-y=t^3;
y(0)=1, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem
y'' + y' - y = t^3
com as condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0.
O método será: (1) encontrar a solução geral da equação homogênea associada, (2) determinar uma solução particular por coeficientes indeterminados, (3) somar as duas e (4) aplicar as condições iniciais para achar as constantes.

Passo 2

Consideramos a equação homogênea
y'' + y' - y = 0
Sua equação característica é
r^2 + r -1 = 0,
cuja solução é
r1,2 = -1 pm raiz52
Logo a solução geral homogênea é
yh(t) = C,e^-1+raiz52,t ;+; D,e^-1-raiz52,t

Passo 3

Para achar uma particular de
y'' + y' - y = t^3
assumimos um polinômio de grau 3:
yp(t) = A,t^3 + B,t^2 + C,t + E
Calculamos
yp' = 3A,t^2 + 2B,t + C, yp'' = 6A,t + 2B
e substituímos em y''+y'-y:
(6A,t+2B) + (3A,t^2+2B,t+C) - (A,t^3+B,t^2+C,t+E)=t^3
Comparando coeficientes de t^3,t^2,t^1,t^0 obtemos o sistema
-,A=1, 3A - B=0, 6A+2B - C=0, 2B + C - E=0,
cuja solução é
A=-1, B=-3, C=-12, E=-18
Portanto
yp(t) = -t^3 -3t^2 -12t -18

Passo 4

A solução geral da equação não homogênea é
y(t) = yh(t) + yp(t) = C,e^-1+raiz52t + D,e^-1-raiz52t ;-;t^3 -3t^2 -12t -18
Calculamos também
y'(t) = C,-1+raiz52,e^-1+raiz52t + D,-1-raiz52,e^-1-raiz52t + (3A,t^2+2B,t+C)
e em t=0 temos
y(0)=C+D-18, y'(0)=C,-1+raiz52 + D,-1-raiz52 -12

Passo 5

Aplicando as condições iniciais
y(0)=1;Rightarrow;C+D-18=1;Rightarrow;C+D=19,
y'(0)=0;Rightarrow;C,-1+raiz52 + D,-1-raiz52 =12
Resolvendo esse sistema para C e D obtemos, após simplificar,
C = 43raiz5 +9510, D = 95-43raiz510

Resposta

boxed y(t) = 43raiz5 +9510,e^-1+raiz52t ;+; 95-43raiz510,e^-1-raiz52t ;-;t^3 -3t^2 -12t -18

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