Resolver as seguintes equações mistas (
caso):
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que mistura derivadas e termos exponenciais. O que a gente vai precisar aqui é entender como resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e encontrar soluções particulares para lidar com os termos não homogêneos, que nesse caso são
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é a parte da equação sem os termos não homogêneos. Ou seja:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente começa assumindo que a solução tem a forma
.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea, temos:
Fatorando
(que nunca é zero), ficamos com a equação característica:
Resolvendo essa equação, temos:
Passo 4
Com as raízes
e
, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes que determinaremos com condições iniciais ou de contorno.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa. A equação original é:
Precisamos achar uma
que, quando substituída na equação, satisfaça a igualdade. Observamos que os termos não homogêneos são
e
. Então, vamos supor que:
onde
e
são constantes a serem determinadas.
Passo 6
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Oops! Isso não funciona, porque nossa suposição para
já está presente na solução homogênea. Então, precisamos multiplicar por
para encontrar uma solução particular adequada.
Passo 7
Vamos tentar:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
E para o termo constante:
Vamos adicionar um termo constante
à solução particular:
Substituindo na equação original para encontrar
:
Na verdade, precisamos considerar uma solução particular separada para o termo constante. Vamos assumir
, onde
é uma constante.
Substituindo:
Parece que precisamos ajustar nossa abordagem. Vamos assumir que a solução particular para o termo constante é simplesmente uma constante
.
Substituindo:
Isso indica que precisamos ajustar nossa solução particular para incluir o termo constante de forma adequada. Portanto, combinamos ambas as soluções particulares:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.