y^prime prime prime+y^prime prime+3 y^prime-5 y=16 e^-t;
y(0)=0, y^prime(0)=2, y^prime prime(0)=-4

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a EDO linear de terceira ordem com coeficientes constantes
y''' + y'' + 3y' -5y = 16e^-t,
com condições iniciais y(0)=0, y'(0)=2, y''(0)=-4. Para resolver, vamos achar a solução homogênea via equação característica e depois uma solução particular por coeficientes indeterminados.

Passo 2

Montar a solução homogênea resolvendo a equação característica
r^3 + r^2 + 3r -5 = 0
Testando raízes racionais, r=1 é raiz. Fazendo a divisão sintética, sobra o polinômio r^2+2r+5, cujas raízes são -1 pm 2i. Logo a solução homogênea é
yh = C1 e^t + e^-tl(C2cos2t + C3sin2tr)

Passo 3

Propor a solução particular do tipo yp = K e^-t. Calculando deriva­das
yp' = -K e^-t, yp'' = K e^-t, yp''' = -K e^-t,
logo
yp''' + yp'' + 3yp' -5yp = (-K + K -3K -5K)e^-t = -8K e^-t
Para igualar a 16e^-t, precisamos de -8K=16, isto é K=-2. Então
yp = -2e^-t

Passo 4

A solução geral fica
y = C1 e^t + e^-tl(C2cos2t + C3sin2tr) - 2e^-t
Para determinar C1,C2,C3, calculamos y(0), y'(0), y''(0):
  • y(0)=C1 + C2 -2 = 0
  • y'(0)=C1 - C2 +2C3 +2 = 2
  • y''(0)=C1 -3C2 -4C3 -2 = -4
    Montamos o sistema:
C1 + C2 = 2, C1 - C2 + 2C3 = 0, C1 - 3C2 - 4C3 = -2

Passo 5

Resolvendo o sistema, encontramos
C1 = 1, C2 = 1, C3 = 0

Resposta

y(t) = e^t + e^{-t}(\cos2t - 2)

Exercícios relacionados