As inclinações das setas de (0,0) até (v1, v2) e (w1, w2) são v2v1 e w2w1. Suponha que o produto v2 w2v1 w1 dessas inclinações seja -1 . Mostre que v cdot w=0 e que os vetores são perpendiculares.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores no plano
v=(v1,v2) e w=(w1,w2)
cuja inclinação em relação ao eixo x é
mv=v2v1 e mw=w2w1,
e afirma que o produto dessas inclinações é -1:
v2v1;w2w1=-1
O que precisamos provar é que
vcdotw=0
e, consequentemente, que v e w são perpendiculares.

Passo 2

A partir de
v2v1;w2w1=-1
multiplicamos em cruz para eliminar as frações, obtendo
v2,w2=-,v1,w1

Passo 3

Lembrando que o produto escalar de v e w é dado por
vcdotw = v1,w1+v2,w2,
substituímos v2,w2=-v1,w1 e temos
vcdotw = v1,w1 + l(-v1,w1r) =0
Como o produto escalar é zero, segue que os vetores são perpendiculares.

Resposta

vcdotw=0 e, portanto, v e w são perpendiculares.

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