Verdadeiro ou falso (dê uma razão se for verdadeiro ou encontre um contraexemplo se for falso):
(a) Se
é perpendicular a
e
, então
é paralelo a
.
(b) Se
é perpendicular a
e
, então
é perpendicular
.
(c) Se
e
são vetores unitários perpendiculares, então
.
(a) Se
(b) Se
(c) Se
Passo 1
O enunciado apresenta três afirmações sobre vetores em
, envolvendo produto escalar, perpendicularidade e norma. Vamos usar:
– A definição de vetores perpendiculares: se e só se
.
– A propriedade bilinear do produto escalar: .
– A fórmula da norma: .
– A definição de vetores perpendiculares:
– A propriedade bilinear do produto escalar:
– A fórmula da norma:
Passo 2
Analisando (a): “Se
é perpendicular a
e
, então
é paralelo a
”.
Como e
, ambos
e
estão no plano
, que é bidimensional. Dois vetores num mesmo plano 2D não precisam ser paralelos.
Contraexemplo:
Como
Contraexemplo:
Calculamos
mas
não é múltiplo escalar de
. Logo, (a) é falsa.
Passo 3
Analisando (b): “Se
é perpendicular a
e
, então
é perpendicular a
”.
Pelo produto escalar bilinear,
Pelo produto escalar bilinear,
Portanto,
. A afirmação é verdadeira.
Passo 4
Analisando (c): “Se
e
são vetores unitários perpendiculares, então
”.
Como ,
e
,
Como
Logo
. A afirmação é verdadeira.
Resposta
(a) Falso, por exemplo
e
satisfazem
mas não são paralelos.
(b) Verdadeiro, pois .
(c) Verdadeiro, pois
, então
.
(b) Verdadeiro, pois
(c) Verdadeiro, pois