Verdadeiro ou falso (dê uma razão se for verdadeiro ou encontre um contraexemplo se for falso):
(a) Se u=(1,1,1) é perpendicular a v e w, então v é paralelo a w.
(b) Se u é perpendicular a v e w, então u é perpendicular a v+2 w.
(c) Se u e v são vetores unitários perpendiculares, então |u-v|=raiz2.

Passo 1

O enunciado apresenta três afirmações sobre vetores em R^n, envolvendo produto escalar, perpendicularidade e norma. Vamos usar:
– A definição de vetores perpendiculares: uperpv se e só se ucdotv=0.
– A propriedade bilinear do produto escalar: ucdot(v+w)=ucdotv+ucdotw.
– A fórmula da norma: |x|^2=xcdotx.

Passo 2

Analisando (a): “Se u=(1,1,1) é perpendicular a v e w, então v é paralelo a w”.
Como ucdotv=0 e ucdotw=0, ambos v e w estão no plano (x,y,z)mid x+y+z=0, que é bidimensional. Dois vetores num mesmo plano 2D não precisam ser paralelos.
Contraexemplo:
v=(1,-1,0), w=(1,0,-1)
Calculamos
ucdotv=1-1+0=0, ucdotw=1+0-1=0,
mas v não é múltiplo escalar de w. Logo, (a) é falsa.

Passo 3

Analisando (b): “Se u é perpendicular a v e w, então u é perpendicular a v+2w”.
Pelo produto escalar bilinear,
ucdot(v+2w) =ucdotv+2,ucdotw =0+2cdot0 =0
Portanto, uperp(v+2w). A afirmação é verdadeira.

Passo 4

Analisando (c): “Se u e v são vetores unitários perpendiculares, então |u-v|=raiz2”.
Como |u|=1, |v|=1 e ucdotv=0,
|u-v|^2 =(u-v)cdot(u-v) =|u|^2+|v|^2-2,ucdotv =1+1-2cdot0 =2
Logo |u-v|=raiz2. A afirmação é verdadeira.

Resposta

(a) Falso, por exemplo v=(1,-1,0) e w=(1,0,-1) satisfazem ucdotv=ucdotw=0 mas não são paralelos.
(b) Verdadeiro, pois ucdot(v+2w)=ucdotv+2,ucdotw=0.
(c) Verdadeiro, pois
|u-v|^2=1+1-2cdot0=2, então |u-v|=raiz2.

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