Encontre vetores ortonormais q1, q2, q3 tais que q1, q2 geram o espaço coluna de
A=[cc 1 & 1 2 & -1 -2 & 4 ]

Passo 1

O enunciado pede três vetores ortonormais q1,q2,q3 em R^3 tais que q1,q2 gerem o espaço coluna da matriz
A= 1 & 1 2 & -1 -2 & 4
O conteúdo é o processo de Gram–Schmidt aplicado às colunas de A para obter uma base ortonormal do espaço coluna, e depois estendê-la a uma base ortonormal de R^3.

Passo 2

Sejam as colunas de A
a1 = 12-2, a2 = 1-14
Começamos por normalizar a1. O seu comprimento é
|a1| = raiz1^2+2^2+(-2)^2 = 3,
logo
q1 = a1|a1| = 1/32/3-2/3

Passo 3

Agora projetamos a2 sobre q1 e subtraímos para obter o componente ortogonal:
lang<= a2,q1rang<= = 1cdot13 + (-1)cdot23 + 4cdotl(-23r) = -3,
u2 = a2 - lang<= a2,q1rang<=,q1 = 1-14 -(-3)1/32/3-2/3 = 212
Seu comprimento é
|u2| = raiz2^2+1^2+2^2 = 3,
portanto
q2 = u2|u2| = 2/31/32/3

Passo 4

Para completar a base ortonormal de R^3, basta escolher q3 orthogonal a q1 e q2. Um modo direto é usar o produto vetorial:
q3 = q1 times q2 = 2/3-2/3-1/3,
que já tem norma 1 e é ortogonal a q1,q2.

Resposta

q1 = 1/32/3-2/3, q2 = 2/31/32/3, q3 = 2/3-2/3-1/3

Exercícios relacionados