1. Encontre os vetores unitários que são paralelos à reta tangente à parábola y=x^2 no ponto (2,4).
  2. (a) Encontre os vetores unitários que são paralelos à reta tangente à curva y=2 sen x no ponto (pi / 6,1).
    (b) Encontre os vetores unitários que são perpendiculares à reta tangente.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos vetores unitários paralelos à reta tangente em pontos dados de duas curvas. Para isso precisamos calcular a derivada para obter o coeficiente angular m da tangente, escrever um vetor direção lang<=1,mrang<= e normalizá-lo.

Passo 2

Para a parábola y=x^2 temos
dydx=2x
No ponto x=2 o coeficiente angular é
m=2cdot2=4

Passo 3

O vetor direção da reta tangente em (2,4) é lang<=1,4rang<= e sua norma é
|lang<=1,4rang<=|=raiz1^2+4^2=raiz17
Logo os vetores unitários paralelos são
pm1raiz17lang<=1,4rang<= ;=; l(1raiz17,4raiz17r) e l(-1raiz17,-4raiz17r)

Passo 4

Para a curva y=2sin x temos
dydx=2cos x
No ponto x=pi6 vale
m=2cos!l(tfracpi6r) =2cdotraiz32 =raiz3

Passo 5

O vetor direção da reta tangente em l(tfracpi6,1r) é lang<=1,raiz3rang<= e sua norma é
|lang<=1,raiz3rang<=|=raiz1+3=2
Assim os vetores unitários paralelos são
pm12lang<=1,raiz3rang<= ;=; l(tfrac12,tfracraiz32r) e l(-tfrac12,-tfracraiz32r)

Passo 6

Vetores perpendiculares a lang<=1,raiz3rang<= são lang<=-raiz3,1rang<= e lang<=raiz3,-1rang<=. A norma de cada um é
raiz(raiz3)^2+1^2=raiz4=2
Dividindo por 2, obtemos os vetores unitários perpendiculares:
l(-tfracraiz32,tfrac12r) e l(tfracraiz32,-tfrac12r)

Resposta

  1. l(tfrac1raiz17,tfrac4raiz17r) e l(-tfrac1raiz17,-tfrac4raiz17r).
    42(a) l(tfrac12,tfracraiz32r) e l(-tfrac12,-tfracraiz32r).
    42(b) l(-tfracraiz32,tfrac12r) e l(tfracraiz32,-tfrac12r).

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