Encontre o volume delimitado pelo cilíndro (x-1)^2+y^2=1, com z >= 0, e o parabolóide z=1-x^2-y^2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelo cilindro (x-1)^2+y^2=1, pela superfície z=1-x^2-y^2 e pelo plano z=0. O conteúdo envolve integração dupla para volumes e uso de coordenadas polares.

Passo 2

Para encontrar o volume, usamos a fórmula
V=integral duplaD (zsuperior-zinferior),dA = integral duplaD (1-x^2-y^2 - 0),dA = integral duplaD (1-x^2-y^2),dA
onde D é a projeção do sólido no plano xy.

Passo 3

Passamos para coordenadas polares com x=rcostheta, y=rsintheta e dA=r,dr,dtheta. As curvas limitantes em polares são:
(x-1)^2+y^2<=1 iff r<=2costheta,
x^2+y^2<=1 iff r<=1
Além disso r>=0 e gerações reais exigem costheta>=0, ou seja thetain[-pi/2,pi/2].

Passo 4

Como o limite superior de r é min(1,2costheta), notamos que:
  • Para |theta|<=pi/3, tem-se 2costheta>=1, logo rmax=1.
  • Para pi/3<=|theta|<=pi/2, tem-se 2costheta<1, logo rmax=2costheta.
    Assim o volume se separa em duas integrais:
V=integral-pi/3^pi/3integral0^1(1-r^2)r,dr,dtheta + 2integralpi/3^pi/2integral0^2costheta(1-r^2)r,dr,dtheta

Passo 5

Calculamos cada parte:
Para a primeira parte,
A= integral-pi/3^pi/3l[tfrac12r^2-tfrac14r^4r]0^1,dtheta = integral-pi/3^pi/3tfrac14,dtheta = tfrac14cdottfrac2pi3 = tfracpi6
Para a segunda parte, usando integral r(1-r^2),dr=tfrac12r^2-tfrac14r^4 e a identidade
cos^4theta = 3+4cos2theta+cos4theta8,
obtemos
B=2integralpi/3^pi/2l(2cos^2theta-4cos^4thetar),dtheta = -tfracpi6+tfrac3raiz38
Somando A+B resulta
V=3raiz38

Resposta

tfrac3raiz38

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