Encontre o volume delimitado pelo cilíndro
, com
, e o parabolóide
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido limitado pelo cilindro
, pela superfície
e pelo plano
. O conteúdo envolve integração dupla para volumes e uso de coordenadas polares.
Passo 2
Para encontrar o volume, usamos a fórmula
onde
é a projeção do sólido no plano
.
Passo 3
Passamos para coordenadas polares com
,
e
. As curvas limitantes em polares são:
Além disso
e gerações reais exigem
, ou seja
.
Passo 4
Como o limite superior de
é
, notamos que:
- Para
, tem-se , logo . - Para
, tem-se , logo .
Assim o volume se separa em duas integrais:
Passo 5
Calculamos cada parte:
Para a primeira parte,
Para a primeira parte,
Para a segunda parte, usando
e a identidade
obtemos
Somando
resulta