O produto misto entre os vetores a seguir é zero. Logo, eles são coplanares. Escreve então vec{u}=\alpha_{1} \vec{v}+\alpha_{2} \vec{w}
\vec{u}=(1,2,3), \vec{v}=(2,4,6) e \vec{w}=(0,1,2)

Passo 1

O enunciado quer que a gente escreva \vec u como combinação linear de \vec v e \vec w, ou seja, encontrar \alpha_{1},\alpha_{2} tais que
\vec u = \alpha_{1}\,\vec v + \alpha_{2}\,\vec w.
O conteúdo é solução de um sistema linear em coordenadas.

Passo 2

Escrevendo a equação vetorial em coordenadas, temos
(1,2,3) = \alpha_{1}\,(2,4,6) + \alpha_{2}\,(0,1,2) = \bigl(2\alpha_{1},\,4\alpha_{1}+\alpha_{2},\,6\alpha_{1}+2\alpha_{2}\bigr).

Passo 3

Pela primeira coordenada:
1 = 2\alpha_{1} \quad\Longrightarrow\quad \alpha_{1} = \tfrac{1}{2}.

Passo 4

Pela segunda coordenada:
2 = 4\alpha_{1} + \alpha_{2} \quad\Longrightarrow\quad 2 = 4\cdot\tfrac12 + \alpha_{2} \quad\Longrightarrow\quad \alpha_{2} = 2 - 2 = 0.

Passo 5

Verificando a terceira coordenada:
6\alpha_{1} + 2\alpha_{2} = 6\cdot\tfrac12 + 2\cdot0 = 3,
que casa com a componente 3 de \vec u.

Resposta

\alpha_{1}=\tfrac12,\;\alpha_{2}=0.

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