Encontre o volume do paralelepípedo delimitado pelos vetores
\vec{u}=(1,2,3), \vec{v}=(0,1,0) e \vec{w}=(1,0,0)

Passo 1

O enunciado pede o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores \vec u=(1,2,3), \vec v=(0,1,0) e \vec w=(1,0,0).
Em geometria vetorial, esse volume V é o valor absoluto do produto misto, ou seja:
V = \bigl|\vec u\cdot(\vec v\times\vec w)\bigr|.

Passo 2

Vamos calcular primeiro \vec v\times\vec w. Usando a definição em determinante, temos
\vec v \times \vec w = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = (1\cdot0 - 0\cdot0)\,\mathbf{i} - (0\cdot0 - 0\cdot1)\,\mathbf{j} + (0\cdot0 - 1\cdot1)\,\mathbf{k} = -\,\mathbf{k}.
Portanto \vec v\times\vec w=(0,0,-1).

Passo 3

Agora fazemos o produto escalar de \vec u com esse resultado:
\vec u\cdot(\vec v\times\vec w) = (1,2,3)\cdot(0,0,-1) = 1\cdot0 + 2\cdot0 + 3\cdot(-1) = -3.
O volume é o valor absoluto desse número, logo
V = \bigl|-3\bigr| = 3.

Resposta

3

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