Dê exemplos de matrizes A e B de mdo que:
A+B não seja inversível, embora A e B sejam

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos encontrar duas matrizes quadradas A e B tais que cada uma seja invertível (ou seja, \det(A)\neq0 e \det(B)\neq0), mas a soma A+B seja não invertível (ou seja, \det(A+B)=0). Vamos usar o critério de invertibilidade via determinante para escolher um exemplo simples em dimensão 2.

Passo 2

Escolhemos como exemplo as matrizes identidade e sua negativa em \mathbb{R}^{2\times2}:
A = I_2 = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[6pt] 0 & 1\end{pmatrix}, \qquad B = -I_2 = \begin{pmatrix}-1 & 0 \\[6pt] 0 & -1\end{pmatrix}.]

Passo 3

Verificamos que A e B são invertíveis calculando seus determinantes:
\det(A) = \det\bigl(I_2\bigr) = 1\neq0, \qquad \det(B) = \det\bigl(-I_2\bigr) = (-1)^2=1\neq0.
Logo, ambas têm inversa.

Passo 4

Agora computamos a soma:
A + B = I_2 + (-I_2) = 0_{2\times2} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\[3pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
O determinante da matriz nula é
\det\bigl(A+B\bigr) = \det\bigl(0_{2\times2}\bigr) = 0,
portanto A+B não é invertível.]

Resposta

Um exemplo é
A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}-1 & 0 \\\\ 0 & -1\end{pmatrix},
pois \det(A)=1, \det(B)=1 e \det(A+B)=0.

Exercícios relacionados