Encontre o volume da região cortada do cilindro x^2+y^2=4 pelo plano z=0 e pelo plano x+z=3.

Passo 1

O enunciado descreve a região V limitada lateralmente pelo cilindro
x^2+y^2=4,
e verticalmente pelos planos z=0 (base) e x+z=3 (topo).
Queremos usar integração para encontrar o volume de V.

Passo 2

Projetando V no plano xy, o domínio D é o disco
D=(x,y)mid x^2+y^2<=4
Em cada ponto (x,y)in D, a coordenada z varia de 0 até a superfície z=3-x.
Logo, o volume é
V = integral duplaDl(a<urar),dA =integral duplaD(3 - x),dA

Passo 3

Separamos a integral em duas partes:
integral duplaD(3 - x),dA =3integral duplaDdA ;-;integral duplaDx,dA
  1. A área de D é picdot2^2=4pi, logo
3integral duplaDdA = 3cdot4pi =12pi
  1. Como D é simétrico em relação ao eixo y, a integral de x sobre D é zero:
integral duplaDx,dA =0
Portanto
V = 12pi - 0 = 12pi

Resposta

O volume da região é 12pi.

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