Sabendo que
1-x^2 y^23 <= arctan (x y)x y<1 e 2|x y|-x^2 y^26<4-4 cos (raiz|x y|)<2|x y|
calcule os limites:
(a) lim (x, y) (0,0) arctan (x y)x y
(b) lim (x, y) (0,0) 4-4 cos (raiz|x y|)|x y|

Passo 1

O enunciado fornece duas desigualdades adequadas ao Teorema do Confronto e pede os seguintes limites quando (x,y)to(0,0):
(a) arctan(xy)xy
(b) 4-4cosl(raiz|xy|r)|xy|
O conteúdo principal é o cálculo de limites de função de duas variáveis usando o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche).

Passo 2

Para (a), usamos a desigualdade dada:
1-x^2y^23;<=;arctan(xy)xy;<;1
Quando (x,y)to(0,0), temos ,x^2y^2to0 de modo que
lim(x,y)to(0,0)l(1-tfracx^2y^23r)=1 e lim(x,y)to(0,0)1=1
Pela Teorema do Confronto, segue
lim(x,y)to(0,0)arctan(xy)xy=1

Passo 3

Para (b), parte-se da desigualdade
2|xy|-x^2y^26;<;4-4cosl(raiz|xy|r);<;2|xy|
Dividindo todos os termos por |xy|neq0,
2-|xy|6;<;4-4cosl(raiz|xy|r)|xy|;<;2
Quando (x,y)to(0,0), temos |xy|to0, logo
lim(x,y)to(0,0)l(2-tfrac|xy|6r)=2 e lim(x,y)to(0,0)2=2
Aplicando novamente o Teorema do Confronto, obtemos
lim(x,y)to(0,0)4-4cosl(raiz|xy|r)|xy|=2

Resposta

(a) 1
(b) 2

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