Encontre o volume da região D limitada pelas superfícies z+x^2=4, y+z=4, y=0 e z=0.
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\left(\mathrm{V}=\frac{128}{5} \mathrm{~m}^{3}\right)

Passo 1

A região D é delimitada pelas superfícies z+x²=4, y+z=4, y=0 e z=0, e queremos calcular seu volume. O conteúdo aqui é cálculo de volume por integração usando fatias horizontais em z, pois isso simplifica bastante os limites.

Passo 2

Para um valor fixo de z, a projeção da região no plano xy é dada por 0≤y≤4−z (da equação y+z=4) e por −√(4−z)≤x≤√(4−z) (da equação z+x²=4). Portanto, a área dessa seção transversal é
A(z)=l(2raiz4-zr)times(4-z)=2(4-z)^3/2

Passo 3

O volume é a integral dessa área de z=0 até z=4 (pois em z=4 ambas as superfícies se encontram em y=0 ou x=0):
V=integral0^42(4-z)^3/2,dz
Para resolver, fazemos a substituição u=4−z, du=−dz. Quando z=0, u=4; quando z=4, u=0. Assim
Substituindo na integral:
V=2integral0^4(4-z)^3/2dz=2integralu=4^0u^3/2(-du)=2integral0^4u^3/2du=2cdot25u^5/2g|0^4=45,4^5/2
Calculamos 4^{5/2} como (√4)5=25=32, logo V=\frac{4}{5}×32.

Passo 4

Daí obtemos o valor final do volume da região D: V=128/5 m³.

Resposta

V=1285,m^3

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