Resolva o problema de valor inicial.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial y'=2y+x(e^3x-e^2x), y(0)=2. Isso é uma equação diferencial linear de 1ª ordem. Vamos usar o método do fator integrante para encontrar y(x).

Passo 2

Escrevemos a equação na forma padrão
y' - 2y = x(e^3x - e^2x)
de onde identificamos P(x)=-2. O fator integrante é
mu(x) = e^,integral P(x),dx = e^-2x

Passo 3

Multiplicamos toda a equação por mu(x). No lado esquerdo surge a derivada do produto:
ddxl(ye^-2xr) = x(e^3x-e^2x)e^-2x

Passo 4

Simplificamos o lado direito:
x(e^3x-e^2x)e^-2x = x(e^x - 1)

Passo 5

Agora integramos ambos os lados:
integral ddx(ye^-2x),dx = integral x(e^x - 1),dx
O lado direito se separa em
integral x e^x,dx - integral x,dx
Pela integração por partes em integral x e^x,dx obtemos x e^x - e^x e integral x,dx = tfracx^22. Logo,
integral x(e^x - 1),dx = x e^x - e^x - tfracx^22 + C

Passo 6

Voltamos à expressão de y e^-2x:
y e^-2x = x e^x - e^x - tfracx^22 + C
Multiplicando por e^2x, achamos
y = x e^3x - e^3x - tfracx^22e^2x + C e^2x

Passo 7

Aplicamos a condição inicial y(0)=2. Substituindo x=0 na expressão de y
2 = -1 + C,
logo C=3.

Resposta

y(x) = x e^3x - e^3x - tfracx^22e^2x + 3e^2x

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