Resolva o problema de valor inicial.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
. Isso é uma equação diferencial linear de 1ª ordem. Vamos usar o método do fator integrante para encontrar
.
Passo 2
Escrevemos a equação na forma padrão
de onde identificamos
. O fator integrante é
Passo 3
Multiplicamos toda a equação por
. No lado esquerdo surge a derivada do produto:
Passo 4
Simplificamos o lado direito:
Passo 5
Agora integramos ambos os lados:
O lado direito se separa em
Pela integração por partes em
obtemos
e
. Logo,
Passo 6
Voltamos à expressão de
:
Multiplicando por
, achamos
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
. Substituindo
na expressão de
dá
logo
.