Resolva o problema de valor inicial.
Passo 1
O enunciado apresenta um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial de primeira ordem não exata que, ao rearranjarmos, se mostra ser uma equação linear em
. Vamos usar o método do fator integrante para resolver: isso envolve reescrever a equação em sua forma padrão, achar o fator integrante
, multiplicar, integrar e depois aplicar a condição inicial.
Passo 2
Primeiro transformamos a equação dada
em sua forma padrão
. Dividindo tudo por
(que presumimos não ser zero), obtemos
Aqui identificamos
Passo 3
Calculamos o fator integrante
, definido por
Fazendo a integral,
portanto
Passo 4
Multiplicamos a equação padrão por
. O lado esquerdo se torna a derivada de
:
O lado direito é
Logo temos
Integrando em relação a
:
onde
é constante de integração.
Passo 5
Isolando
:
Agora aplicamos a condição inicial
:
Isso implica
, ou seja
.
Passo 6
Substituindo
em
chegamos à solução final:
Resposta
y(x) = e^{-x}\Bigl(1 - \frac{1}{x^2}\Bigr)