Resolva o problema de valor inicial.

Passo 1

O enunciado apresenta um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial de primeira ordem não exata que, ao rearranjarmos, se mostra ser uma equação linear em y(x). Vamos usar o método do fator integrante para resolver: isso envolve reescrever a equação em sua forma padrão, achar o fator integrante mu(x), multiplicar, integrar e depois aplicar a condição inicial.

Passo 2

Primeiro transformamos a equação dada
x,dy + (x y + 2y - 2e^-x),dx = 0
em sua forma padrão dy/dx + P(x)y = Q(x). Dividindo tudo por x (que presumimos não ser zero), obtemos
dydx + l(1 + 2xr)y = 2xe^-x
Aqui identificamos
P(x) = 1 + 2x,
Q(x) = 2xe^-x

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x), definido por
mu(x) = expl(integral P(x),dxr) = expl(integral l(1 + 2xr)dxr)
Fazendo a integral,
integral l(1 + 2xr)dx = x + 2ln|x|,
portanto
mu(x) = e^x + 2ln|x| = x^2 e^x

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x). O lado esquerdo se torna a derivada de ymu(x):
x^2 e^xdydx + l(1 + 2xr)x^2 e^xy = ddxl(y,x^2 e^xr)
O lado direito é
2xe^-xcdot x^2 e^x = 2x
Logo temos
ddxl(y x^2 e^xr) = 2x
Integrando em relação a x:
y x^2 e^x = integral 2x,dx = x^2 + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Isolando y(x):
y(x) = x^2 + Cx^2 e^x = e^-x + C,x^-2e^-x
Agora aplicamos a condição inicial y(1)=0:
0 = e^-1 + Ccdot 1^-2e^-1 = e^-1(1 + C)
Isso implica 1 + C = 0, ou seja C = -1.

Passo 6

Substituindo C=-1 em y(x) chegamos à solução final:
y(x) = e^-x - x^-2e^-x

Resposta

y(x) = e^{-x}\Bigl(1 - \frac{1}{x^2}\Bigr)

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