Encontre o volume da região sólida descrita.
Região sólida limitada por z=x^2, 0 <= x <= 5 e os planos y=0, y=3 e z=0.

Passo 1

O enunciado pede o volume de um sólido limitado pelas superfícies z = x^2, z = 0, pelos planos y = 0, y = 3 e pela faixa 0 <= x <= 5. O conteúdo principal aqui é o cálculo de volume via integral tripla em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Para calcular o volume, usamos a fórmula
V = integral triplaR dV
onde R é a região dada. Vamos escolher a ordem de integração dz,dy,dx. As fronteiras são:
  • x varia de 0 a 5,
  • y varia de 0 a 3,
  • z varia de 0 até a superfície z = x^2.
    Portanto, o integral fica
V = integralx=0^5 integraly=0^3 integralz=0^x^2 dz,dy,dx

Passo 3

Começando pela integral em z:
integralz=0^x^2 dz = l[zr]0^x^2 = x^2
Isso reduz o integral para duas dimensões.

Passo 4

Agora integramos em y:
integraly=0^3 x^2,dy = x^2 l[yr]0^3 = 3x^2
O volume passa a ser
V = integral0^5 3x^2,dx

Passo 5

Por fim, calculamos a integral em x:
integral0^5 3x^2,dx = 3cdot x^33 gr|0^5 = 5^3 = 125

Resposta

125

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