Mostre que a função f(z)=|z| não é diferenciável em nenhum ponto.

Passo 1

Enunciado e conteúdo: Temos a função f: ℂ → ℝ dada por f(z)=|z|. Queremos mostrar que ela não é diferenciável (no sentido complexo) em nenhum ponto. Para isso vamos usar as equações de Cauchy‐Riemann e a definição de derivada complexa.

Passo 2

Expressão em coordenadas reais: Escrevendo z = x + i y, podemos ver f como f(z)=u(x,y)+i v(x,y), onde
u(x,y)=raizx^2+y^2, v(x,y)=0

Passo 3

Cálculo das derivadas parciais (para (x,y)≠(0,0)):
$$
u_x=\frac{x}{\sqrt{x2+y2}}$$
$$
u_y=\frac{y}{\sqrt{x2+y2}}$$
$$
v_x=0,\quad v_y=0$$

Passo 4

Aplicação das equações de Cauchy‐Riemann:
  • u_x = v_y implica x/|z|=0 ⇒ x=0
  • u_y = -v_x implica y/|z|=0 ⇒ y=0
    Logo, para z≠0 as equações não são satisfeitas, então f não é diferenciável se z≠0.

Passo 5

Análise em z=0 pela definição de derivada: Avaliamos
limhto0f(0+h)-f(0)h=limhto0|h|h
- Se h é real positivo, o limite vale +1.
- Se h é real negativo, vale -1.
- Se h é imaginário puro h=it, o limite vale -i.
Como esses valores dependem da direção de aproximação, o limite não existe.

Passo 6

Conclusão: Como nem em z≠0 nem em z=0 existe derivada complexa, f não é diferenciável em nenhum ponto de ℂ.

Resposta

A função f(z)=|z| não é diferenciável em nenhum ponto de ℂ.

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