Mostre que a função
não é diferenciável em nenhum ponto.
Passo 1
Enunciado e conteúdo: Temos a função f: ℂ → ℝ dada por f(z)=|z|. Queremos mostrar que ela não é diferenciável (no sentido complexo) em nenhum ponto. Para isso vamos usar as equações de Cauchy‐Riemann e a definição de derivada complexa.
Passo 2
Expressão em coordenadas reais: Escrevendo z = x + i y, podemos ver f como f(z)=u(x,y)+i v(x,y), onde
Passo 3
Cálculo das derivadas parciais (para (x,y)≠(0,0)):
$$
u_x=\frac{x}{\sqrt{x2+y2}}$$
$$
u_y=\frac{y}{\sqrt{x2+y2}}$$
$$
v_x=0,\quad v_y=0$$
Passo 4
Aplicação das equações de Cauchy‐Riemann:
- u_x = v_y implica
⇒ x=0 - u_y = -v_x implica
⇒ y=0
Logo, para z≠0 as equações não são satisfeitas, então f não é diferenciável se z≠0.
Passo 5
Análise em z=0 pela definição de derivada: Avaliamos
- Se h é real positivo, o limite vale +1.
- Se h é real negativo, vale -1.
- Se h é imaginário puro h=it, o limite vale -i.
Como esses valores dependem da direção de aproximação, o limite não existe.
Passo 6
Conclusão: Como nem em z≠0 nem em z=0 existe derivada complexa, f não é diferenciável em nenhum ponto de ℂ.
Resposta
A função f(z)=|z| não é diferenciável em nenhum ponto de ℂ.