Encontre o volume da sólido delimitado pela função f(x, y)=1+\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y} e inferiormente pelo plano xy.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que fica entre a superfície
z = f(x,y) \;=\; 1 + \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}
e o plano z=0. Isso é um típico problema de volume por integral dupla, em que
V \;=\;\iint_{D} f(x,y)\,\mathrm{d}A
e D\subset\mathbb{R}^2 é a projeção desta região no plano xy, definida por f(x,y)\ge0.

Passo 2

Para encontrar D, resolvemos
1 + \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} \;\ge\; 0
ou seja
\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} \;\ge\;-1.
Esse é o interior da curva
\sqrt[3]{y} = -1 - \sqrt[3]{x}\quad\Longrightarrow\quad y = \bigl(-1-\sqrt[3]{x}\bigr)^{3},
mas o que importa é perceber que o conjunto \{(x,y)\mid \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}\ge-1\}
não é limitado: ainda que tenha uma “fronteira” curva, ele se estende indefinidamente para grandes x e y.

Passo 3

Para ver melhor a forma de D, fazemos a mudança de variáveis
u = \sqrt[3]{x},\quad v = \sqrt[3]{y},
então
x = u^{3},\;y = v^{3},\quad \mathrm{d}A = \bigl|\det J\bigr|\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v = (3u^{2})(3v^{2})\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v =9\,u^{2}v^{2}\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v.
Em (u,v), a região D vira o meio-plano
u + v \;\ge\;-1,
que claramente não é limitado.

Passo 4

Expressando o volume na nova variável, a integral fica
V =\iint_{D} \bigl(1+u+v\bigr)\,9\,u^{2}v^{2}\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v,
onde agora (u,v) percorre o conjunto \{u+v\ge-1\}, que é não limitado em qualquer direção. Para decidir se converge, basta notar o comportamento em u,v\to+\infty: o integrando cresce como u^3v^2 ou u^2v^3, e a região vai até o infinito.

Passo 5

Em qualquer direção onde u\to+\infty e v fixo (ou vice-versa), o integrando é assimptoticamente como u^3, e a “faixa” de integração nessa direção tem largura infinita. Logo a integral dupla diverge, isto é,
V = +\infty.

Resposta

O volume do sólido é infinito.

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