Questão 3 - Esboce a região delimitada pelas equações dadas a seguir. Em seguida, expresse a área da região como uma integral dupla iterada e calcule a integral.
y=2 x, \quad y=-x \quad \text { e } \quad x=3

Passo 1

O enunciado pede para esboçar e calcular a área da região R do plano limitada pelas retas
y = 2x,\quad y = -\,x \quad\text{e}\quad x = 3.
O conteúdo aqui é integramos uma função constante (igual a 1) sobre R para obter sua área via integral dupla.

Passo 2

Primeiro identificamos os vértices de R. As retas y=2x e y=-x se cruzam em
2x = -\,x \quad\Longrightarrow\quad x=0,
logo y=0. Portanto um vértice é (0,0). A reta vertical x=3 intersecta
y=2x\quad\text{em}\quad (3,\,6), \qquad y=-x\quad\text{em}\quad (3,\,-3).
Assim, R é o triângulo com vértices (0,0), (3,6) e (3,-3).

Passo 3

Para montar a integral dupla, escolhemos a ordem dA = dy\,dx. Para cada x entre 0 e 3, y varia de
y_{\text{inferior}} = -\,x \quad\text{até}\quad y_{\text{superior}} = 2x.é
Logo, a área é
A = \iint_{R}1\,dA = \int_{x=0}^{3}\!\int_{y=-x}^{2x} dy\,dx.

Passo 4

Calculamos a integral interna:
\int_{y=-x}^{2x} dy = \bigl[y\bigr]_{y=-x}^{2x} = 2x -(-x) = 3x.
Substituindo,
A = \int_{0}^{3} 3x\,dx = 3\int_{0}^{3} x\,dx = 3\left[\tfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{3} = 3\cdot\tfrac{9}{2} = \tfrac{27}{2}.

Resposta

A área da região é \displaystyle \tfrac{27}{2}.

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