Use a 1{ }^{\text {a }} parte do T.F.C. para calcular a derivada das seguintes funções:
G(x)=\int_{1}^{x^{4}} \operatorname{sec} (t) dt

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
G(x)=\int_{1}^{x^{4}}\operatorname{sec}(t)\,dt
usando a primeira parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.) e depois aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

O T.F.C., Parte 1, afirma que se
H(u)=\int_{a}^{u}f(t)\,dt,
então
H'(u)=f(u).
Quando o limite superior é uma função de x, digamos u(x), temos
\frac{d}{dx}\!\Bigl[\int_{a}^{u(x)}f(t)\,dt\Bigr]=f\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).

Passo 3

No nosso caso f(t)=\operatorname{sec}(t) e u(x)=x^4. Logo, pela fórmula acima,
G'(x)=\operatorname{sec}\bigl(x^4\bigr)\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^4\bigr).

Passo 4

A derivada de x^4 em relação a x é
\frac{d}{dx}\bigl(x^4\bigr)=4x^3.
Substituindo em G'(x), obtemos
G'(x)=\operatorname{sec}\bigl(x^4\bigr)\cdot4x^3.

Resposta

G'(x)=4x^3\operatorname{sec}\bigl(x^4\bigr).

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