Esboce e descreva as regiōes de integração.
0 <= x <= 3,0 <= y <= 2 x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região
ou seja, a região do plano limitada pelas retas ), ), ) e x). Vamos desenhar essa região e depois descrevê-la invertendo a ordem de integração.

Passo 2

Para esboçar, trace os eixos e . A reta x) passa pela origem com inclinação ). Em ), x) atinge ). Então a região é o triângulo com vértices em )), )) e )), abaixo de x) e à direita de ).

Passo 3

A descrição dada corresponde à ordem
integralx=0^3!integraly=0^2x f(x,y),dy,dx
Nesse esboço, para cada x in [0,3], y varia de 0 até 2x.

Passo 4

Para inverter a ordem de integração (ou seja, integrar primeiro em x e depois em y), observamos que y vai de 0 (eixo x) até o ponto máximo 6. Para um dado y in [0,6], a condição y <= 2x equivale a x >= y2, e x ainda deve ficar abaixo de 3. Logo,
0 <= y <= 6, y2 <= x <= 3

Passo 5

Portanto, a mesma região R pode ser descrita como
integraly=0^6!integralx=y2^3 f(x,y),dx,dy

Resposta

A região esboçada é o triângulo com vértices em )), )) e )), limitado por ), ), ), x).
Descrição original:
Descrição invertida:

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