Questão 1. Calcule as integrais ao longo das curvas indicadas utilizando a parametrização dada ou qualquer outra parametrização que venha a ser mais útil:
C, ao longo de z(t)=t+i t^2 descrita parametricamente por 0 <= t <= 1, onde ;

Passo 1

A questão pede para calcular a integral de linha de uma função complexa ao longo da curva parametrizada por z(t)=t+i t^2, com 0<= t<=1. O conteúdo envolvido é integral de linha em variável complexa, e vamos usar a fórmula
integralC f(z),dz = integralt0^t1 fl(z(t)r),z'(t),dt

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada da parametrização:
z'(t)=ddtl(t+i t^2r)=1+2i t

Passo 3

Em seguida, obtemos z(t)^2:
z(t)^2 = (t + i t^2)^2 = t^2 + 2i t^3 + i^2 t^4 = -t^4 + 2i t^3 + t^2

Passo 4

Substituímos na integral:
integralC z^2,dz = integral0^1 z(t)^2,z'(t),dt = integral0^1 l(-t^4 + 2i t^3 + t^2r)l(1+2i tr),dt
Agora multiplicamos os polinômios:
(-t^4+2i t^3+t^2)(1+2i t) = -t^4 -2i t^5 +2i t^3 +4i^2 t^4 +t^2 +2i t^3 = t^2 -5t^4 +4i t^3 -2i t^5

Passo 5

Finalmente, integramos termo a termo de 0 a 1:
integral0^1 (t^2 -5t^4),dt = l[tfract^33-t^5r]0^1 = tfrac13-1 = -tfrac23,
integral0^1 (4i t^3 -2i t^5),dt = l[i t^4 - tfraci t^63r]0^1 = i - tfraci3 = tfrac2i3
Somando as partes real e imaginária, obtemos o valor da integral.

Passo 6

O somatório dá
-tfrac23 + tfrac2i3 = -2+2i3

Resposta

-2+2i3

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