Escreva uma integral dupla equivalente com ordem de integração invertida.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para reescrever uma integral dupla invertendo a ordem de integração. Estamos trabalhando com integrais duplas, que servem para calcular áreas, volumes ou outras grandezas em regiões no plano. Aqui, vamos precisar entender os limites de integração atuais e como eles se alteram quando trocamos a ordem de e .

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração no plano . A integral original é:
Isso significa que varia de 0 a 1, e para cada , varia de 2 a .

Passo 3

Vamos traçar essas inequações para entender melhor a região:
  1. varia de 0 a 1.
  2. varia de 2 a .
A equação representa uma reta que intercepta o eixo em 4 e tem inclinação -2.

Passo 4

Agora, queremos inverter a ordem de integração, ou seja, integrar primeiro em e depois em . Para isso, precisamos determinar os novos limites:
  1. varia desde o menor valor na região até o maior. Observando as inequações, começa em 2 e vai até 4.
  2. Para um valor fixo de , varia de até (obtido rearranjando ).

Passo 5

Então, os novos limites de integração ficam:
  • de 2 a 4.
  • Para cada , de 0 a .

Passo 6

Com isso, podemos escrever a integral dupla com a ordem de integração invertida:

Resposta

A integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida é:

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