Escreva uma integral dupla equivalente com ordem de integração invertida.
integral0^1 integral2^4-2 x d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para reescrever uma integral dupla invertendo a ordem de integração. Estamos trabalhando com integrais duplas, que servem para calcular áreas, volumes ou outras grandezas em regiões no plano. Aqui, vamos precisar entender os limites de integração atuais e como eles se alteram quando trocamos a ordem de dx e dy .

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração no plano xy . A integral original é:
integral0^1 integral2^4-2x dy, dx
Isso significa que x varia de 0 a 1, e para cada x , y varia de 2 a 4 - 2x .

Passo 3

Vamos traçar essas inequações para entender melhor a região:
  1. x varia de 0 a 1.
  2. y varia de 2 a 4 - 2x .
A equação y = 4 - 2x representa uma reta que intercepta o eixo y em 4 e tem inclinação -2.

Passo 4

Agora, queremos inverter a ordem de integração, ou seja, integrar primeiro em x e depois em y . Para isso, precisamos determinar os novos limites:
  1. y varia desde o menor valor na região até o maior. Observando as inequações, y começa em 2 e vai até 4.
  2. Para um valor fixo de y , x varia de x = 0 até x = 4 - y2 (obtido rearranjando y = 4 - 2x ).

Passo 5

Então, os novos limites de integração ficam:
  • y de 2 a 4.
  • Para cada y , x de 0 a 4 - y2 .

Passo 6

Com isso, podemos escrever a integral dupla com a ordem de integração invertida:
integral2^4 integral0^4 - y2 dx, dy

Resposta

A integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida é:
integral2^4 integral0^4 - y2 dx, dy

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