Escreva uma integral dupla equivalente com ordem de integração invertida.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para reescrever uma integral dupla invertendo a ordem de integração. Estamos trabalhando com integrais duplas, que servem para calcular áreas, volumes ou outras grandezas em regiões no plano. Aqui, vamos precisar entender os limites de integração atuais e como eles se alteram quando trocamos a ordem de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração no plano
. A integral original é:
Isso significa que
varia de 0 a 1, e para cada
,
varia de 2 a
.
Passo 3
Vamos traçar essas inequações para entender melhor a região:
-
varia de 0 a 1. -
varia de 2 a .
A equação
representa uma reta que intercepta o eixo
em 4 e tem inclinação -2.
Passo 4
Agora, queremos inverter a ordem de integração, ou seja, integrar primeiro em
e depois em
. Para isso, precisamos determinar os novos limites:
-
varia desde o menor valor na região até o maior. Observando as inequações, começa em 2 e vai até 4. - Para um valor fixo de
, varia de até (obtido rearranjando ).
Passo 5
Então, os novos limites de integração ficam:
-
de 2 a 4. - Para cada
, de 0 a .
Passo 6
Com isso, podemos escrever a integral dupla com a ordem de integração invertida:
Resposta
A integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida é: