Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
y=x^{3}, \quad y=\sqrt{x}; em torno do eixo x.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas y=x^{3} e y=\sqrt{x} em torno do eixo x. Informações dadas e objetivos claros:
  • Curvas: y=x^{3} e y=\sqrt{x}.
  • Eixo de rotação: eixo x.
  • Pergunta: determinar o volume do sólido gerado por essa rotação.
  • Informação necessária a ser encontrada: pontos de interseção entre as curvas para obter os limites em x da região.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção resolve os limites de integração. Igualamos as duas curvas:
x^{3}=\sqrt{x}.
Escrevendo \sqrt{x}=x^{1/2} obtemos
x^{3}=x^{1/2}.
Passo algébrico: levar tudo para um lado e fatorar por uma potência positiva de x. Podemos escrever
x^{3}-x^{1/2}=0 \quad\Rightarrow\quad x^{1/2}\bigl(x^{5/2}-1\bigr)=0.
Daí surgem as soluções
x^{1/2}=0 \Rightarrow x=0,
ou
x^{5/2}=1 \Rightarrow x=1.
Logo os pontos de interseção em x são x=0 e x=1. Os correspondentes valores de y são y=0 e y=1.

Passo 3

Precisamos saber qual curva está “por cima” (maior y) no intervalo [0,1], porque isso define o raio externo e interno ao rotacionar.
  • Para 0<x<1, potências com expoente menor produzem valores maiores (por exemplo, x^{1/2}>x^{3} quando 0<x<1). Ou teste num ponto: para x=\tfrac{1}{2}, temos \sqrt{\tfrac{1}{2}}\approx0{,}707 e \bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{3}=0{,}125; logo \sqrt{x} é maior.
    Portanto, no intervalo [0,1] temos y_{\text{top}}=\sqrt{x} e y_{\text{bottom}}=x^{3}.

Passo 4

Explicar o método de cálculo do volume (método das “lâminas”/“washers”):
  • Quando uma região entre duas curvas y_{\text{top}}(x) e y_{\text{bot}}(x) é girada em torno do eixo x, cada fatia perpendicular ao eixo forma um disco anelar (washer) de raio externo R(x)=y_{\text{top}}(x) e raio interno r(x)=y_{\text{bot}}(x).
  • A área do anel é \pi\bigl(R(x)^{2}-r(x)^{2}\bigr).
  • Assim o volume é
V=\pi\int_{a}^{b}\bigl(R(x)^{2}-r(x)^{2}\bigr)\,dx,
onde [a,b] é o intervalo de x sobre o qual a região existe (aqui [0,1]). Explico as variáveis: R(x) é a distância do eixo x até a curva superior em dado x; r(x) é a distância do eixo até a curva inferior.

Passo 5

Aplicando ao nosso caso: R(x)=\sqrt{x} e r(x)=x^{3}, com a=0 e b=1. Montamos a integral do volume:
V=\pi\int_{0}^{1}\Bigl((\sqrt{x})^{2}-(x^{3})^{2}\Bigr)\,dx.
Simplificando os quadrados:
(\sqrt{x})^{2}=x,\qquad (x^{3})^{2}=x^{6},
portanto
V=\pi\int_{0}^{1}\bigl(x-x^{6}\bigr)\,dx.

Passo 6

Calcular a integral usando a regra do poder para integrais: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}.
Aplicando termo a termo:
\int_{0}^{1} x\,dx=\left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{2},
\int_{0}^{1} x^{6}\,dx=\left.\frac{x^{7}}{7}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{7}.
Subtraindo e multiplicando por \pi:
V=\pi\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{7}\right).

Passo 7

Fazer a subtração com denominador comum:
\frac{1}{2}-\frac{1}{7}=\frac{7}{14}-\frac{2}{14}=\frac{5}{14}.
Portanto
V=\pi\cdot\frac{5}{14}=\frac{5\pi}{14}.
Resultado positivo e razoável (pequeno, pois a região entre as curvas em [0,1] é pequena), o que dá confiança no cálculo.

Resposta

\displaystyle \frac{5\pi}{14}

Exercícios relacionados