Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. y=x^{3}, \quad y=\sqrt{x}; em torno do eixo x.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas y=x^{3} e y=\sqrt{x} em torno do eixo x. Informações dadas e objetivos claros:
Curvas: y=x^{3} e y=\sqrt{x}.
Eixo de rotação: eixo x.
Pergunta: determinar o volume do sólido gerado por essa rotação.
Informação necessária a ser encontrada: pontos de interseção entre as curvas para obter os limites em x da região.
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção resolve os limites de integração. Igualamos as duas curvas:
x^{3}=\sqrt{x}.
Escrevendo \sqrt{x}=x^{1/2} obtemos
x^{3}=x^{1/2}.
Passo algébrico: levar tudo para um lado e fatorar por uma potência positiva de x. Podemos escrever
Logo os pontos de interseção em x são x=0 e x=1. Os correspondentes valores de y são y=0 e y=1.
Passo 3
Precisamos saber qual curva está “por cima” (maior y) no intervalo [0,1], porque isso define o raio externo e interno ao rotacionar.
Para 0<x<1, potências com expoente menor produzem valores maiores (por exemplo, x^{1/2}>x^{3} quando 0<x<1). Ou teste num ponto: para x=\tfrac{1}{2}, temos \sqrt{\tfrac{1}{2}}\approx0{,}707 e \bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{3}=0{,}125; logo \sqrt{x} é maior.
Portanto, no intervalo [0,1] temos y_{\text{top}}=\sqrt{x} e y_{\text{bottom}}=x^{3}.
Passo 4
Explicar o método de cálculo do volume (método das “lâminas”/“washers”):
Quando uma região entre duas curvas y_{\text{top}}(x) e y_{\text{bot}}(x) é girada em torno do eixo x, cada fatia perpendicular ao eixo forma um disco anelar (washer) de raio externo R(x)=y_{\text{top}}(x) e raio interno r(x)=y_{\text{bot}}(x).
A área do anel é \pi\bigl(R(x)^{2}-r(x)^{2}\bigr).
onde [a,b] é o intervalo de x sobre o qual a região existe (aqui [0,1]). Explico as variáveis: R(x) é a distância do eixo x até a curva superior em dado x; r(x) é a distância do eixo até a curva inferior.
Passo 5
Aplicando ao nosso caso: R(x)=\sqrt{x} e r(x)=x^{3}, com a=0 e b=1. Montamos a integral do volume: