Encontre o volume do sólido obtido pela rotação (em torno do eixo x ) da região delimitada pelas curvas y=2-\frac{x}{2} e y=0.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x da região delimitada por y=2-\tfrac{x}{2} e y=0. O conteúdo é volume por discos, então vamos identificar a região de integração, montar a integral de volume e calculá-la.
Passo 2
Encontramos os pontos onde a reta intercepta os eixos para determinar os limites em x. A reta y=2-\tfrac{x}{2} intercepta o eixo x quando
2-\tfrac{x}{2}=0
o que dá x=4. No eixo y ela intercepta em (0,2). Como consideramos a região no primeiro quadrante, temos x variando de 0 a 4.
Passo 3
Pelo método dos discos, cada fatia perpendicular ao eixo x tem raio
R(x)=y(x)=2-\tfrac{x}{2}.
O volume é
V = \pi \int_{0}^{4} \bigl(R(x)\bigr)^{2}\,dx = \pi \int_{0}^{4} \Bigl(2-\tfrac{x}{2}\Bigr)^{2} dx.
Passo 4
Expandimos o quadrado para facilitar a integração: