Encontre o volume do sólido obtido pela rotação (em torno do eixo x ) da região delimitada pelas curvas y=2-\frac{x}{2} e y=0.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x da região delimitada por y=2-\tfrac{x}{2} e y=0. O conteúdo é volume por discos, então vamos identificar a região de integração, montar a integral de volume e calculá-la.

Passo 2

Encontramos os pontos onde a reta intercepta os eixos para determinar os limites em x. A reta y=2-\tfrac{x}{2} intercepta o eixo x quando
2-\tfrac{x}{2}=0
o que dá x=4. No eixo y ela intercepta em (0,2). Como consideramos a região no primeiro quadrante, temos x variando de 0 a 4.

Passo 3

Pelo método dos discos, cada fatia perpendicular ao eixo x tem raio
R(x)=y(x)=2-\tfrac{x}{2}.
O volume é
V = \pi \int_{0}^{4} \bigl(R(x)\bigr)^{2}\,dx = \pi \int_{0}^{4} \Bigl(2-\tfrac{x}{2}\Bigr)^{2} dx.

Passo 4

Expandimos o quadrado para facilitar a integração:
\Bigl(2-\tfrac{x}{2}\Bigr)^{2} = 4 - 2x + \tfrac{x^{2}}{4}.
Logo
V = \pi \int_{0}^{4} \Bigl(4 - 2x + \tfrac{x^{2}}{4}\Bigr)\,dx.
A antiderivada é
\int \Bigl(4 - 2x + \tfrac{x^{2}}{4}\Bigr)dx = 4x - x^{2} + \tfrac{x^{3}}{12}.

Passo 5

Avaliando de 0 a 4 temos
\bigl(4x - x^{2} + \tfrac{x^{3}}{12}\bigr)\Big|_{0}^{4} = \bigl(16 - 16 + \tfrac{64}{12}\bigr) - 0 = \tfrac{16}{3}.
Portanto
V = \pi \cdot \tfrac{16}{3} = \tfrac{16\pi}{3}.

Resposta

O volume do sólido é \tfrac{16\pi}{3}.

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