Questão 4. Uma lâmina ocupa a parte do disco x^{2}+y^{2} \leq 1 no primeiro quadrante. Determine o centro de massa se a densidade em qualquer ponto for proporcional à distância do ponto ao eixo x. Além disso, encontre os momentos de inércia I_{x}, I_{y}, I_{0} para essa lâmina.

Passo 1

O enunciado descreve uma lâmina ocupando a região
R = \{(x,y)\mid x^2+y^2\le1,\;x\ge0,\;y\ge0\}
com densidade em cada ponto proporcional à distância ao eixo x, ou seja
\delta(x,y)=k\,y,
onde k é constante. Precisamos achar o centro de massa (\bar x,\bar y) e os momentos de inércia \,I_x=\iint_R y^2\,\delta(x,y)\,dA, \,I_y=\iint_R x^2\,\delta(x,y)\,dA e \,I_0=\iint_R (x^2+y^2)\,\delta(x,y)\,dA.
Usaremos coordenadas polares:
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dA = r\,dr\,d\theta,
com \theta\in[0,\pi/2] e r\in[0,1].

Passo 2

Cálculo da massa total
M=\iint_R \delta(x,y)\,dA =\int_{0}^{\pi/2}\!\int_{0}^{1}k\,(r\sin\theta)\;r\,dr\,d\theta =k\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta\;\int_{0}^{1}r^2\,dr =k\cdot1\cdot\frac{1}{3} =\frac{k}{3}.

Passo 3

Cálculo dos momentos estáticos
Momento em relação ao eixo y:
M_y=\iint_R x\,\delta(x,y)\,dA =\int_{0}^{\pi/2}\!\int_{0}^{1}k\,(r\cos\theta)(r\sin\theta)\;r\,dr\,d\theta =k\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta\,d\theta\;\int_{0}^{1}r^3\,dr =k\cdot\frac12\cdot\frac14 =\frac{k}{8}.
Momento em relação ao eixo x:
M_x=\iint_R y\,\delta(x,y)\,dA =\int_{0}^{\pi/2}\!\int_{0}^{1}k\,(r\sin\theta)^2\;r\,dr\,d\theta =k\int_{0}^{\pi/2}\sin^2\theta\,d\theta\;\int_{0}^{1}r^3\,dr =k\cdot\frac{\pi}{4}\cdot\frac{1}{4} =\frac{k\pi}{16}.

Passo 4

Centro de massa
\bar x = \frac{M_y}{M} = \frac{\frac{k}{8}}{\frac{k}{3}} = \frac{3}{8}, \quad \bar y = \frac{M_x}{M} = \frac{\frac{k\pi}{16}}{\frac{k}{3}} = \frac{3\pi}{16}.

Passo 5

Momentos de inércia em relação aos eixos
I_x:
I_x=\iint_R y^2\,\delta(x,y)\,dA =\int_{0}^{\pi/2}\!\int_{0}^{1}k\,(r\sin\theta)^2\;(r\sin\theta)\;r\,dr\,d\theta =k\int_{0}^{\pi/2}\sin^3\theta\,d\theta\;\int_{0}^{1}r^4\,dr =k\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{5} =\frac{2k}{15}.
I_y:
I_y=\iint_R x^2\,\delta(x,y)\,dA =\int_{0}^{\pi/2}\!\int_{0}^{1}k\,(r\cos\theta)^2\;(r\sin\theta)\;r\,dr\,d\theta =k\int_{0}^{\pi/2}\cos^2\theta\sin\theta\,d\theta\;\int_{0}^{1}r^4\,dr =k\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{5} =\frac{k}{15}.

Passo 6

Momento de inércia em relação à origem
I_0=\iint_R (x^2+y^2)\,\delta(x,y)\,dA =\iint_R r^2\,(k\,r\sin\theta)\;r\,dr\,d\theta =k\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta\;\int_{0}^{1}r^4\,dr =k\cdot1\cdot\frac{1}{5} =\frac{k}{5}.
Alternativamente verifica-se I_0=I_x+I_y.

Resposta

Centro de massa:
(\bar x,\bar y)=\Bigl(\tfrac{3}{8},\,\tfrac{3\pi}{16}\Bigr).
Momentos de inércia:
I_x = \frac{2k}{15},\quad I_y = \frac{k}{15},\quad I_0 = \frac{k}{5}.

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