Questão 4. Uma lâmina ocupa a parte do disco
no primeiro quadrante. Determine o centro de massa se a densidade em qualquer ponto for proporcional à distância do ponto ao eixo x. Além disso, encontre os momentos de inércia
para essa lâmina.
Passo 1
O enunciado descreve uma lâmina ocupando a região
com densidade em cada ponto proporcional à distância ao eixo
, ou seja
onde
é constante. Precisamos achar o centro de massa
e os momentos de inércia
,
e
.
Usaremos coordenadas polares:
Usaremos coordenadas polares:
com
e
.
Passo 2
Cálculo da massa total
Passo 3
Cálculo dos momentos estáticos
Momento em relação ao eixo :
Momento em relação ao eixo
Momento em relação ao eixo
:
Passo 4
Centro de massa
Passo 5
Momentos de inércia em relação aos eixos
:
Passo 6
Momento de inércia em relação à origem
Alternativamente verifica-se
.
Resposta
Centro de massa:
Momentos de inércia: