Use integrais para mostrar que o volume de uma pirâmide de base quadrada, cujo lado mede 1 e altura igual a 2 é
.
Passo 1
O enunciado dá uma pirâmide com base quadrada cujo lado da base mede
, e cuja altura mede
.
A tarefa é, usando integrais, mostrar que o volume dessa pirâmide é .
Informações relevantes que vamos usar:
A tarefa é, usando integrais, mostrar que o volume dessa pirâmide é
Informações relevantes que vamos usar:
- lado da base:
. - altura (distância da base até o vértice/apex):
. - queremos o volume total da pirâmide, calculado por integração de áreas das seções transversais.
Passo 2
Ideia geométrica e formulação por integração (fatiamento): imagine cortar a pirâmide por planos horizontais paralelos à base. Cada fatia, a uma altura
acima da base (
), é aproximadamente um paralelepípedo muito fino cuja área da face é a área do quadrado de interseção com a pirâmide. Se a área dessa seção for
, então o volume de uma lâmina de espessura
é
. Somando todas as lâminas e passando ao limite, obtemos a fórmula do volume por integração:
Essa é a ideia: determinar
como função de
e integrar de
a
.
Passo 3
Determinar a aresta do quadrado de seção em função de
.
Escolhemos o eixo vertical tal que a base esteja em (onde o lado vale
) e o vértice esteja em
(onde o lado da seção é
). As seções horizontais são quadrados similares à base, portanto o lado da seção varia linearmente com
. Seja
o lado do quadrado na altura
. Temos as condições:
Escolhemos o eixo vertical tal que a base esteja em
Uma função linear que satisfaça isso é
(Verificação rápida: para
dá
, para
dá
.) Raciocínio por similaridade: metade do lado (meia aresta) diminui proporcionalmente à distância até o vértice, daí a proporcionalidade linear.
Passo 4
Área da seção em função de
e expressão para o volume.
A área do quadrado de seção é o quadrado do lado:
A área do quadrado de seção é o quadrado do lado:
Substituindo na integral do volume:
Para integrar, expandimos o quadrado:
Então
Passo 5
Computar a integral termo a termo. Integramos de
a
:
Somando os resultados:
Passo 6
Comentário final e checagem rápida: o resultado
coincide com a fórmula conhecida para o volume de uma pirâmide
, pois aqui
e
, dando
. Isso confirma que a integração foi feita corretamente.