Use integrais para mostrar que o volume de uma pirâmide de base quadrada, cujo lado mede 1 e altura igual a 2 é \frac{2}{3}.

Passo 1

O enunciado dá uma pirâmide com base quadrada cujo lado da base mede \,1, e cuja altura mede \,2.
A tarefa é, usando integrais, mostrar que o volume dessa pirâmide é \,\dfrac{2}{3}.
Informações relevantes que vamos usar:
  • lado da base: \,1.
  • altura (distância da base até o vértice/apex): \,2.
  • queremos o volume total da pirâmide, calculado por integração de áreas das seções transversais.

Passo 2

Ideia geométrica e formulação por integração (fatiamento): imagine cortar a pirâmide por planos horizontais paralelos à base. Cada fatia, a uma altura \,z acima da base ( 0\le z\le2), é aproximadamente um paralelepípedo muito fino cuja área da face é a área do quadrado de interseção com a pirâmide. Se a área dessa seção for A(z), então o volume de uma lâmina de espessura \,dz é \,dV=A(z)\,dz. Somando todas as lâminas e passando ao limite, obtemos a fórmula do volume por integração:
V=\int_{0}^{2} A(z)\,dz.
Essa é a ideia: determinar A(z) como função de z e integrar de 0 a 2.

Passo 3

Determinar a aresta do quadrado de seção em função de \,z.
Escolhemos o eixo vertical tal que a base esteja em \,z=0 (onde o lado vale 1) e o vértice esteja em \,z=2 (onde o lado da seção é 0). As seções horizontais são quadrados similares à base, portanto o lado da seção varia linearmente com z. Seja s(z) o lado do quadrado na altura z. Temos as condições:
s(0)=1,\qquad s(2)=0.
Uma função linear que satisfaça isso é
s(z)=1 - \frac{z}{2}.
(Verificação rápida: para z=0 1, para z=2 0.) Raciocínio por similaridade: metade do lado (meia aresta) diminui proporcionalmente à distância até o vértice, daí a proporcionalidade linear.

Passo 4

Área da seção em função de \,z e expressão para o volume.
A área do quadrado de seção é o quadrado do lado:
A(z)=\bigl(s(z)\bigr)^2=\left(1-\frac{z}{2}\right)^{2}.
Substituindo na integral do volume:
V=\int_{0}^{2} \left(1-\frac{z}{2}\right)^{2} dz.
Para integrar, expandimos o quadrado:
\left(1-\frac{z}{2}\right)^{2}=1 - z + \frac{z^{2}}{4}.
Então
V=\int_{0}^{2}\left(1 - z + \frac{z^{2}}{4}\right)dz.

Passo 5

Computar a integral termo a termo. Integramos de 0 a 2:
\int_{0}^{2} 1\,dz = \Bigl[z\Bigr]_{0}^{2}=2,
\int_{0}^{2} (-z)\,dz = -\Bigl[\frac{z^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{2} = -\frac{4}{2}=-2,
\int_{0}^{2} \frac{z^{2}}{4}\,dz = \frac{1}{4}\Bigl[\frac{z^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{2} = \frac{1}{4}\cdot\frac{8}{3}=\frac{2}{3}.
Somando os resultados:
V=2 + (-2) + \frac{2}{3} = \frac{2}{3}.

Passo 6

Comentário final e checagem rápida: o resultado \,\dfrac{2}{3}\, coincide com a fórmula conhecida para o volume de uma pirâmide V=\dfrac{1}{3}\times(\text{área da base})\times(\text{altura})á, pois aqui \text{área da base}=1á e \text{altura}=2, dando V=\dfrac{1}{3}\cdot 1\cdot 2=\dfrac{2}{3}. Isso confirma que a integração foi feita corretamente.

Resposta

\dfrac{2}{3}

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