Encontre o volume do sólido no primeiro octante, delimitado pelo cilindro x^2+y^2=1 e os planos y=z, x=0, z=0.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido no primeiro octante (isto é, x>=0, y>=0, z>=0) limitado lateralmente pelo cilindro x^2+y^2=1, pelo plano vertical x=0, pelo plano inferior z=0 e pelo plano inclinado y=z. O conteúdo principal aqui é o cálculo de volume via integral tripla, aproveitando coordenadas polares para a projeção no plano xy.

Passo 2

Vamos projetar o sólido sobre o plano xy. A condição x^2+y^2<=1 com x>=0 e y>=0 define um quarto de disco de raio 1, que chamaremos de domínio D. Para cada ponto (x,y)in D, a coordenada z varia de baixo para cima entre z=0 e z=y (pois o plano y=z z=y).
Escrevemos o volume como
V ;=;integral duplaDl(integralz=0^z=y1,dzr),dA ;=;integral duplaDy,dA

Passo 3

Para calcular
com a e de a .
Substituindo em integral dupla:
Calculamos separadamente:

Passo 4

Multiplicando, obtemos
V = 1;times;13 = 13

Resposta

13

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