Encontre o volume do sólido no primeiro octante, delimitado pelo cilindro
os planos
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido no primeiro octante (isto é,
,
,
) limitado lateralmente pelo cilindro
, pelo plano vertical
, pelo plano inferior
e pelo plano inclinado
. O conteúdo principal aqui é o cálculo de volume via integral tripla, aproveitando coordenadas polares para a projeção no plano
.
Passo 2
Vamos projetar o sólido sobre o plano
. A condição
com
e
define um quarto de disco de raio 1, que chamaremos de domínio
. Para cada ponto
, a coordenada
varia de baixo para cima entre
e
(pois o plano
dá
).
Escrevemos o volume como
Escrevemos o volume como
Passo 3
Para calcular
com a
e
de
a
.
Substituindo em integral dupla:
Calculamos separadamente:
Passo 4
Multiplicando, obtemos