Questão 5. (2,0) Esboçar a região de integração e calcular a integral:
Passo 1
O enunciado pede
O domínio de integração é o disco de raio (pois varia entre para ). Como a função só é real quando , o integrando vale zero (ou não está definido) fora do disco de raio . Logo, o único aporte real da integral vem do disco de raio . Para resolver, basta usar coordenadas polares:
com Jacobiano .
Passo 2
Em coordenadas polares o domínio “ativo” é
pois para temos e não é real.
Passo 3
Reescrevendo o integral em polares:
Passo 4
Calcule primeiro a parte em :
Use , de modo que , isto é . Os limites passam de até . Assim,