Questão 5. (2,0) Esboçar a região de integração e calcular a integral: integral-2^2 integral-raiz4-x^2^raiz4-x^2 raiz1-x^2-y^2 d y d x

Passo 1

O enunciado pede
integralx=-2^2integraly=-raiz4-x^2^raiz4-x^2raiz1 - x^2 - y^2;dy,dx
O domínio de integração é o disco de raio 2 (pois y varia entre pmraiz4 - x^2 para -2<= x<=2). Como a função raiz1 - x^2-y^2 só é real quando x^2+y^2<=1, o integrando vale zero (ou não está definido) fora do disco de raio 1. Logo, o único aporte real da integral vem do disco de raio 1. Para resolver, basta usar coordenadas polares:
x = rcostheta, y = rsintheta, r>=0,;thetain[0,2pi],
com Jacobiano r.

Passo 2

Em coordenadas polares o domínio “ativo” é
0 <= r <= 1, 0 <= theta <= 2pi,
pois para r>1 temos 1 - r^2<0 e raiz,1-r^2, não é real.

Passo 3

Reescrevendo o integral em polares:
integral duplaDraiz1 - x^2-y^2;dA =integraltheta=0^2piintegralr=0^1raiz1 - r^2;l(r,dr,dthetar)

Passo 4

Calcule primeiro a parte em r:
integral0^1r,raiz1 - r^2;dr
Use u = 1 - r^2, de modo que du = -2r,dr, isto é r,dr = -tfrac12,du. Os limites passam de r=0mapsto u=1 até r=1mapsto u=0. Assim,
integral0^1rraiz1 - r^2,dr =integralu=1^0raizu,l(-tfrac12,dur) =tfrac12integral0^1u^1/2,du =tfrac12cdotu^3/2tfrac32g|0^1 =13

Passo 5

Agora integramos em theta:
integral0^2pidtheta;times;13 =13times 2pi =2pi3

Resposta

2pi3

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