Teste o teorema de Stokes
ointpartial S F cdot d X=integral duplaS rot F cdot d N=integral duplaS(nabla times F) cdot d N,
para
F(x, y, z)=(2 y cos z, e^x sin z, x e^y) e S: x^2+y^2+z^2=9, z >= 0

Passo 1

O enunciado pede para testar o teorema de Stokes para o campo vetorial F(x,y,z)=(2ycos z,,e^xsin z,,x e^y) sobre a superfície S que é a semiesfera x^2+y^2+z^2=9, z>=0. Vamos usar o teorema de Stokes na forma
ointpartial SFcdot dX=integral dupla S(nablatimes F)cdot d N

Passo 2

Para facilitar a conta, escolhemos calcular o integral de linha ointpartial SFcdot dX em vez do integral de superfície. Primeiro identificamos a curva partial S: é o círculo definido por x^2+y^2=9, z=0. A normal escolhida deve ter componente z positiva para que a curva seja orientada no sentido anti-horário visto de cima.

Passo 3

Parametrizamos o círculo por
X(theta)=(3costheta,,3sintheta,,0), 0<=theta<=2pi,
assim
dX=(-3sintheta,,3costheta,,0), dtheta

Passo 4

Calculamos o valor de F sobre a curva (onde z=0, então cos0=1 e sin0=0):
F(X(theta))=(2y,0,xe^y)|(x,y)=(3costheta,3sintheta)=(2cdot3sintheta,,0,,3costheta,e^3sintheta)
Como dZ=0, o produto escalar é
Fcdot dX=2y, d x=(2cdot3sintheta)(-3sintheta, dtheta)=-18sin^2theta, dtheta

Passo 5

Integramos de 0 a 2pi:
ointpartial SFcdot dX=integral0^2pi(-18sin^2theta), dtheta=-18integral0^2pisin^2theta, dtheta=-18cdotpi=-18pi

Passo 6

Pelo teorema de Stokes, o integral de superfície é igual a este valor. Portanto está testado que
integral dupla S(nablatimes F)cdot d N=-18pi

Resposta

-18\pi

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