O enunciado pede para testar o teorema de Stokes para o campo vetorial sobre a superfície que é a semiesfera . Vamos usar o teorema de Stokes na forma
Passo 2
Para facilitar a conta, escolhemos calcular o integral de linha em vez do integral de superfície. Primeiro identificamos a curva : é o círculo definido por , . A normal escolhida deve ter componente positiva para que a curva seja orientada no sentido anti-horário visto de cima.
Passo 3
Parametrizamos o círculo por
assim
Passo 4
Calculamos o valor de sobre a curva (onde , então e ):
Como dZ=0, o produto escalar é
Fcdot dX=2y, d x=(2cdot3sintheta)(-3sintheta, dtheta)=-18sin^2theta, dtheta