Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pelas curvas dadas gira em torno do eixo x:
y=25-x^2, y=3

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por ,y=25 - x^2 (acima) e por ,y=3 (abaixo) em torno do eixo x. Este é um problema de cálculo de volume por discos (ou anéis): usaremos a fórmula
V = pi integrala^b l[R(x)^2 - r(x)^2r],dx,
onde R(x) é o raio externo e r(x) é o raio interno do anel.

Passo 2

Precisamos dos limites de integração a e b, que são as abscissas dos pontos em que as curvas se encontram. Igualando
25 - x^2 = 3
temos
x^2 = 22 Longrightarrow x = pm raiz22
Logo, os limites são a = -raiz22 e b = +raiz22.

Passo 3

Ao girar em torno do eixo x, a distância do eixo até a curva ,y=25 - x^2 é o raio externo
R(x) = 25 - x^2,
e até a reta ,y=3 é o raio interno
r(x) = 3
Portanto, o volume é
V = pi integral-raiz22^raiz22 l[(25 - x^2)^2 - 3^2r],dx

Passo 4

Expandindo o integrando:
(25 - x^2)^2 - 9 = 625 - 50x^2 + x^4 - 9 = 616 - 50x^2 + x^4
Logo o volume fica
V = pi integral-raiz22^raiz22 l(616 - 50x^2 + x^4r),dx
A antiderivada é
F(x) = 616x - 503x^3 + 15x^5

Passo 5

Como o integrando é função par, podemos dobrar de 0 a raiz22. Temos
V = 2pil[F(raiz22) - F(0)r] = 2pi,F(raiz22)
Calculando F(raiz22):
x = raiz22 Longrightarrow x^3 = 22raiz22, x^5 = 484raiz22,
F(raiz22) = 616raiz22 - 503,22raiz22 + 15,484raiz22 = 519215,raiz22
Logo
V = 2pi cdot 519215,raiz22 = 1038415,pi,raiz22

Resposta

V = 10384,raiz22,pi15

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