Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pelas curvas dadas gira em torno do eixo
:
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por
(acima) e por
(abaixo) em torno do eixo
. Este é um problema de cálculo de volume por discos (ou anéis): usaremos a fórmula
onde
é o raio externo e
é o raio interno do anel.
Passo 2
Precisamos dos limites de integração
e
, que são as abscissas dos pontos em que as curvas se encontram. Igualando
temos
Logo, os limites são
e
.
Passo 3
Ao girar em torno do eixo
, a distância do eixo até a curva
é o raio externo
e até a reta
é o raio interno
Portanto, o volume é
Passo 4
Expandindo o integrando:
Logo o volume fica
A antiderivada é
Passo 5
Como o integrando é função par, podemos dobrar de
a
. Temos
Calculando
:
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