Resolva os seguintes PVI’s usando Transformada de Laplace
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}+y=3 t^{2} \\\ y(0)=4\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede resolver o PVI
y'(t) + y(t) = 3t^2,\quad y(0)=4
usando transformada de Laplace. Vamos usar as propriedades \mathcal L\{y'\} = sY(s)-y(0), \mathcal L\{y\}=Y(s) e \mathcal L\{t^2\}=2/s^3.

Passo 2

Aplicando \mathcal L em ambos os lados de
y' + y = 3t^2
temos
\mathcal L\{y'\} + \mathcal L\{y\} = (sY(s)-4) + Y(s),
\mathcal L\{3t^2\} = 3\cdot \frac{2}{s^3} = \frac{6}{s^3}.

Passo 3

Reagrupando,
(sY(s)-4) + Y(s) = \frac{6}{s^3} \quad\Longrightarrow\quad Y(s)\,(s+1) = 4 + \frac{6}{s^3} \quad\Longrightarrow\quad Y(s) = \frac{4}{s+1} + \frac{6}{s^3(s+1)}.

Passo 4

Decompondo em frações parciais
\frac{6}{s^3(s+1)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s^2} + \frac{C}{s^3} + \frac{D}{s+1},
multiplicando por s^3(s+1) e igualando coeficientes, obtemos C=6, B=-6, A=6, D=-6. Então
Y(s) = \frac{4}{s+1} + \Bigl(\frac{6}{s} - \frac{6}{s^2} + \frac{6}{s^3} - \frac{6}{s+1}\Bigr) = \frac{6}{s} - \frac{6}{s^2} + \frac{6}{s^3} - \frac{2}{s+1}.

Passo 5

Aplicando a transformada inversa termo a termo:
\mathcal L^{-1}\Bigl(\frac{6}{s}\Bigr)=6,\quad \mathcal L^{-1}\Bigl(-\frac{6}{s^2}\Bigr)=-6t,\quad \mathcal L^{-1}\Bigl(\frac{6}{s^3}\Bigr)=3t^2,\quad \mathcal L^{-1}\Bigl(-\frac{2}{s+1}\Bigr)=-2e^{-t}.
Somando, resulta
y(t)=6 - 6t + 3t^2 - 2e^{-t}.

Resposta

y(t)=3t^2 - 6t + 6 - 2e^{-t}.

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