Use as regras de derivação para calcular a derivada das funções y=f(x) dadas abaixo
y=x^2 raiz[3]3 x+4raiz2 x-1

Passo 1

Temos a função
y = x^2raiz[3]3x+4raiz2x-1 = x^2,(3x+4)^1/3,(2x-1)^-1/2
O conteúdo é aplicação da regra do produto (para três fatores) e da regra da cadeia (para potências). Vamos precisar saber derivar potências e usar a extensão da regra do produto.

Passo 2

Vamos chamar
u(x)=x^2, v(x)=(3x+4)^1/3, w(x)=(2x-1)^-1/2
Então
u'(x)=2x,
pela regra do expoente; para
v(x)=(g(x))^1/3 com g(x)=3x+4 a regra da cadeia dá
v'(x)=tfrac13,g(x)^-2/3cdot g'(x)=tfrac13,(3x+4)^-2/3cdot3=(3x+4)^-2/3
Analogamente, para
w(x)=(2x-1)^-1/2 temos
w'(x)=-tfrac12,(2x-1)^-3/2cdot2=-(2x-1)^-3/2

Passo 3

Agora aplicamos a regra do produto para três fatores:
y'=nu',v,w+nu,v',w+nu,v,w'
Substituindo,
y'=2x,(3x+4)^1/3(2x-1)^-1/2+x^2(3x+4)^-2/3(2x-1)^-1/2-x^2(3x+4)^1/3(2x-1)^-3/2

Passo 4

Para simplificar, fatoramos o menor expoente de cada potência: x,(3x+4)^-2/3(2x-1)^-3/2. Fazendo isso e somando os termos resultantes, obtemos
y'=x,(3x+4)^-2/3(2x-1)^-3/2(11x^2+5x-8)

Resposta

y’=\frac{x,(11x2+5x-8)}{(3x+4){2/3},(2x-1)^{3/2}}

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