Encontre o volume dos sólidos obtidos pela rotação das regiões ao longo do eixo-x:
y=2-x^2, x=raiz2, y=x.

Passo 1

O problema pede o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por y=2-x^2, y=x e x=raiz2 em torno do eixo-x. Vamos usar o método dos discos (ou anéis), identificando intervalos em x e as funções extremas.

Passo 2

Primeiro encontramos o ponto de interseção entre y=2-x^2 e y=x. Resolvendo
2 - x^2 = x Longrightarrow x^2 + x - 2 = 0 Longrightarrow x = 1 ou x = -2
Como estamos considerando x>=0 até x=raiz2, o limite inferior em x é x=1.

Passo 3

Para 1 <= x <= raiz2, a reta y=x fica acima da parábola y=2-x^2. Ao rotacionar em torno do eixo-x, cada seção em x gera um anel de raio externo
R(x)=yrm topo=x,
e raio interno
r(x)=yrm baixo=2 - x^2

Passo 4

Assim o volume é dado por
V = pi integral1^raiz2 l[R(x)^2 - r(x)^2r],dx = pi integral1^raiz2 l(x^2 - (2 - x^2)^2r),dx

Passo 5

Expandindo o integrando:
x^2 - (2 - x^2)^2 = x^2 - (4 - 4x^2 + x^4) = 5x^2 - x^4 - 4

Passo 6

Logo
V = pi integral1^raiz2 (5x^2 - x^4 - 4),dx

Passo 7

Calculamos a primitiva:
integral (5x^2 - x^4 - 4),dx = 53x^3 - x^55 - 4x

Passo 8

Agora avaliamos de 1 a raiz2:
V = pi l[53x^3 - x^55 - 4xr]1^raiz2 = pil(-22raiz215 + 3815r) = 2pi15l(19 - 11raiz2r)

Resposta

V = 2pi15l(19 - 11raiz2r)

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